Hipérbola

Hyperbola

Una hipérbola es una curva dividida en dos ramas, formada por todos los puntos donde la diferencia de las distancias a dos focos se mantiene constante. Si la elipse es la curva de la 'suma de distancias constante', la hipérbola es su pareja: la curva de la 'diferencia de distancias constante'. Sus dos ramas se acercan cada vez más a unas rectas llamadas asíntotas, pero nunca llegan a tocarlas. Mueve los deslizadores a y b y comprueba que la diferencia de las distancias a los dos focos se mantiene fija en 2a, y que las diagonales del rectángulo básico se convierten justamente en las asíntotas.

Definición de la hipérbola

a (semieje real)2

b (semieje imaginario)1.5

👀 ¿Qué es una hipérbola?

①Dos focos F y F'

②Un punto P de la hipérbola cumple |PF' − PF| = 2a (diferencia constante)

③Elipse: «suma constante»; hipérbola: «diferencia constante»

④Es una curva con dos ramas

Asíntotas y rectángulo

📐 El secreto de las asíntotas

①Dibuja un rectángulo de ancho a y alto b centrado en el origen

②Las diagonales prolongadas son las asíntotas

③La hipérbola se acerca a las asíntotas sin tocarlas

④Asíntotas: y = ±(b/a)x

Forma estándar

Forma estándar (horizontal)

x²a² − y²b² = 1

Focos en (±c, 0); asíntotas y = ±(b/a)x

Forma estándar (vertical)

y²a² − x²b² = 1

Focos en (0, ±c); asíntotas y = ±(a/b)x

🔍 Comparación con la elipse

①Elipse: signo + → curva cerrada

②Hipérbola: signo − → curva abierta (dos ramas)

③Elipse: c² = a² − b² (a > b)

④Hipérbola: c² = a² + b² (a y b sin orden fijo)

Focos y excentricidad

Relación focal

c² = a² + b²

distancia focal² = eje real² + eje imaginario²

Excentricidad

e = ca > 1

e cerca de 1: asíntotas estrechas; e grande: asíntotas abiertas

🎯 Intuición de la excentricidad

①En toda hipérbola, e > 1

②e = √(1 + b²/a²)

③Cuanto mayor b/a, más empinada la asíntota y mayor e

④Hipérbola rectangular (a=b): e = √2 y asíntotas y = ±x

Practícalo

Ejemplo 1

Halla las coordenadas de los focos y las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola x²/9 − y²/16 = 1.

De a²=9, b²=16 se obtiene a=3, b=4. Los focos se hallan con c²=a²+b².

c² = 9 + 16 = 25, c = 5

Es horizontal, así que los focos están sobre el eje x y las asíntotas son y = ±(b/a)x.

focos (±5, 0), asíntotas y = ±43x

▸ focos (±5, 0), asíntotas y = ±(4/3)x

En la hipérbola c² = a² + b² (suma). El signo es opuesto al de la elipse c² = a² − b².

Ejemplo 2

Halla la ecuación de la hipérbola cuyos focos son (±5, 0) y cuya diferencia de distancias a los dos focos es 6.

La diferencia 2a = 6 da a = 3, y por los focos c = 5.

2a = 6 ⇒ a = 3, c = 5

Halla b² con b² = c² − a² y sustituye en la forma estándar.

b² = 25 − 9 = 16, x²9 − y²16 = 1

▸ x²/9 − y²/16 = 1

Partiendo de la definición |PF′ − PF| = 2a se fija a primero; luego b² sale como c² − a².

Resumen

Comparación clave

x²a² − y²b² = 1, c² = a² + b²

El signo «−» distingue la hipérbola | c siempre > a

Tipo de simulacro KICE 2021 Mat. (Geometría), adaptado

¿Cuál es la distancia entre los dos focos de la hipérbola x²/4 − y²/5 = 1?

①6

②5

③4

④3

⑤2

▸ ① 6

Como a²=4, b²=5, se tiene c² = a² + b² = 4 + 5 = 9, así que c = 3.

La distancia entre los dos focos es 2c.

2c = 2 × 3 = 6

🎯 Puntos clave

①Definición: |PF' − PF| = 2a

②c² = a² + b² (¡signo opuesto a la elipse!)

③Asíntotas y = ±(b/a)x — pregunta frecuente

④Excentricidad e > 1

⑤Comparación de excentricidades: elipse (0<e<1), parábola (e=1), hipérbola (e>1)

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Elipse

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