seegongsik

Hipérbola

Hyperbola

Una hipérbola es la curva formada por los puntos cuyas distancias a dos focos difieren en una cantidad fija; está partida en dos ramas. La elipse mantiene fija la suma de las distancias y la hipérbola la diferencia: emparejadas así se recuerdan mejor. Las dos ramas se acercan cada vez más a dos rectas, las asíntotas, pero nunca las tocan. Al mover a, b y el punto P, PF′ − PF sale siempre 2a, y las diagonales del rectángulo de 2a por 2b coinciden con las asíntotas.

Definición de hipérbola

2
1.5
1.5
👀 Qué leer en la figura
①Los dos puntos rojos son los focos F′(−c, 0) y F(c, 0), con c² = a² + b²
②La franja superior muestra las distancias de P, en la rama derecha, a los dos focos, y su diferencia PF′ − PF vale 2a esté donde esté P
③Para un punto de la rama izquierda, PF − PF′ = 2a, así que para las dos ramas juntas |PF′ − PF| = 2a
④Los puntos dorados son los vértices (±a, 0) y las líneas discontinuas son las asíntotas y = ±(b/a)x

Asíntotas y rectángulo

📐 Cómo trazar las asíntotas
①Se dibuja un rectángulo de 2a de ancho y 2b de alto centrado en el origen
②Al prolongar sus dos diagonales se obtienen las asíntotas y = ±(b/a)x
③La hipérbola se acerca tanto como se quiera a las asíntotas, pero no las corta
④Los vértices (±a, 0) están en los lados izquierdo y derecho del rectángulo

Ecuación canónica

Ecuación canónica (eje real sobre el eje x)
x²a² − y²b² = 1
Focos (±c, 0), asíntotas y = ±(b/a)x
Ecuación canónica (eje real sobre el eje y)
y²a² − x²b² = 1
Focos (0, ±c), asíntotas y = ±(a/b)x
🔍 Comparada con la elipse
①La elipse suma los dos términos, así que es una curva cerrada
②La hipérbola los resta, así que es abierta y tiene dos ramas
③En la elipse, c² = a² − b²
④En la hipérbola, c² = a² + b², sea cual sea el mayor de a y b

Focos y excentricidad

Relación de los focos
c² = a² + b²
(distancia del centro al foco)² = a² + b²
Excentricidad
e = ca > 1
Con b/a pequeño, e está cerca de 1 y las ramas son estrechas; con b/a grande, e aumenta y las ramas se abren
🎯 Qué significa la excentricidad
①La excentricidad de una hipérbola siempre cumple e > 1
②e = √(1 + b²/a²)
③Cuanto mayor es b/a, más empinadas son las asíntotas y mayor es e
④Una hipérbola equilátera (a = b) tiene e = √2 y asíntotas y = ±x

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1
Halla las coordenadas de los focos y las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola x²/9 − y²/16 = 1.
1
De a² = 9 y b² = 16 salen a = 3 y b = 4; los focos se hallan con c² = a² + b².
c² = 9 + 16 = 25, c = 5
2
El eje real es el eje x, así que los focos están en él y las asíntotas son y = ±(b/a)x.
focos (±5, 0), asíntotas y = ±43x
▸ Focos (±5, 0), asíntotas y = ±(4/3)x
En la hipérbola, c² = a² + b² suma los cuadrados, con el signo contrario a c² = a² − b² de la elipse.
Ejemplo 2
Halla la ecuación de la hipérbola de focos (±5, 0) cuyas distancias a los focos difieren en 6.
1
De la diferencia 2a = 6 sale a = 3, y de los focos, c = 5.
2a = 6 ⇒ a = 3, c = 5
2
Se halla b² con b² = c² − a² y se sustituye en la ecuación canónica.
b² = 25 − 9 = 16, x²9 − y²16 = 1
▸ x²/9 − y²/16 = 1
Si se fija primero a a partir de la definición |PF′ − PF| = 2a, b² sale de c² − a².

Resumen

Comparación clave
x²a² − y²b² = 1, c² = a² + b²
El signo menos distingue la hipérbola, y c siempre es mayor que a
Tipo de simulacro KICE 2021 Mat. (Geometría), adaptado
¿Cuál es la distancia entre los dos focos de la hipérbola x²/4 − y²/5 = 1?
①6
②5
③4
④3
⑤2
▸ ① 6
1
Como a² = 4 y b² = 5, c² = a² + b² = 4 + 5 = 9, así que c = 3.
2
La distancia entre los focos es 2c.
2c = 2 × 3 = 6
🎯 Claves para el examen
①La definición es |PF′ − PF| = 2a
②c² = a² + b², con el signo contrario al de la elipse
③Las asíntotas y = ±(b/a)x aparecen a menudo
④La excentricidad cumple e > 1
⑤Por excentricidad: elipse 0 < e < 1, parábola e = 1, hipérbola e > 1
← Anterior
Elipse
Siguiente →
Operaciones con vectores

Última actualización

¿Te fue útil? Apoyar seegongsik