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Elipse

Ellipse

Una elipse es la curva formada por los puntos cuyas distancias a dos puntos fijos, los focos, suman siempre lo mismo. Si se atan los extremos de un hilo a dos chinchetas, se tensa con un lápiz y se da una vuelta completa, el lápiz dibuja una elipse; la longitud del hilo es esa suma constante. Las órbitas de los planetas alrededor del Sol también son elipses, con el Sol en uno de los dos focos. Al cambiar el semieje horizontal a y el vertical b, los focos se desplazan con ellos, y la suma de las distancias de P a los dos focos siempre es igual a la longitud del eje mayor.

Definición de elipse

3
2
👀 Qué leer en la figura
①Los dos puntos rojos son los focos F y F′, y los segmentos verdes son las distancias de P a ellos
②Se cambien como se cambien a y b, PF′ + PF en la franja superior es el doble del semieje mayor
③Si a > b, la elipse es más ancha que alta, los focos están en el eje x en (±c, 0) y c² = a² − b²
④Si b > a, la elipse es más alta que ancha, los focos pasan al eje y en (0, ±c), con c² = b² − a², y la suma de distancias es 2b
⑤Si a = b, los dos focos coinciden en el centro y la elipse es una circunferencia

Dibujarla con un hilo y dos chinchetas

📌 El método del hilo
①Se clava una chincheta en cada foco
②Se atan a ellas los extremos de un hilo tan largo como el eje mayor
③Con el hilo tenso, el lápiz da una vuelta y dibuja una elipse
④Como el hilo no cambia de longitud, la suma de las distancias de la punta del lápiz a las dos chinchetas es constante

Ecuación canónica

Ecuación canónica (más ancha que alta)
x²a² + y²b² = 1 (a > b > 0)
Focos (±c, 0), c² = a² − b²
Ecuación canónica (más alta que ancha)
x²b² + y²a² = 1 (a > b > 0)
Focos (0, ±c), c² = a² − b²; aquí a es el semieje mayor, así que va bajo y²
🔍 Cómo se plantea la ecuación
①La definición es PF + PF′ = 2a
②Se aplica la fórmula de la distancia a P(x, y), F(c, 0) y F′(−c, 0)
③Eliminando las raíces una a una se llega a x²/a² + y²/b² = 1, con b² = a² − c²
④La variable con el denominador mayor indica la dirección del eje mayor

Excentricidad y forma

Excentricidad
e = ca (0 < e < 1)
Si e está cerca de 0, la elipse es casi una circunferencia; si está cerca de 1, es muy achatada
🎯 Qué significa la excentricidad
①La excentricidad e = c/a es la distancia del centro a un foco dividida entre el semieje mayor
②Si e está cerca de 0, los focos se juntan en el centro y la elipse se parece a una circunferencia
③Si e está cerca de 1, los focos se separan hacia los extremos y la elipse se achata
④La órbita de la Tierra tiene una excentricidad de unos 0,017, casi una circunferencia; la del cometa Halley, de unos 0,97, muy achatada

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1
Halla las coordenadas de los focos y la longitud del eje mayor de la elipse x²/25 + y²/9 = 1.
1
Se leen a y b y se halla c con c² = a² − b².
a² = 25, b² = 9 ⇒ c² = 25 − 9 = 16, c = 4
2
Los focos son (±c, 0) y el eje mayor mide 2a.
focos (±4, 0), eje mayor 2a = 10
▸ Focos (±4, 0), eje mayor de longitud 10
El denominador mayor, 25, está bajo x², así que el eje mayor es horizontal y los focos están en el eje x.
Ejemplo 2
Halla la ecuación de la elipse de focos (±3, 0) cuyas distancias a los focos suman siempre 10.
1
De la suma 2a = 10 se obtiene a, y c se lee en los focos.
2a = 10 ⇒ a = 5, c = 3
2
Se halla b² con b² = a² − c² y se sustituye en la ecuación canónica.
b²=25−9=16 ⇒ x²25 + y²16 = 1
▸ x²/25 + y²/16 = 1
Al obtener a de la definición (suma de distancias = 2a) y c de los focos, queda fijado b².

Resumen

Relación clave
a² = b² + c²
(semieje mayor)² = (semieje menor)² + (distancia del centro al foco)²
Tipo de simulacro KICE 2022 Mat. (Geometría), adaptado
¿Cuál es la distancia entre los dos focos de la elipse x²/16 + y²/7 = 1?
①6
②5
③4
④3
⑤8
▸ ① 6
1
Como a² = 16 y b² = 7, c² = a² − b² = 16 − 7 = 9, así que c = 3.
2
La distancia entre los focos es 2c.
2c = 6
🎯 Claves para el examen
①La elipse se define por una suma constante 2a de las distancias a los dos focos
②En la ecuación canónica, el denominador mayor marca la dirección del eje mayor
③Los focos se hallan con c² = a² − b²
④La excentricidad es e = c/a, con 0 < e < 1
⑤Si el centro es (h, k), se sustituye x por x − h e y por y − k
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