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Mis palabras
3° Bachillerato (17-18 años)

Elipse

Ellipse

Una elipse es la curva formada por todos los puntos cuyas distancias a dos puntos fijos (los focos) siempre suman lo mismo. Si pasas una cuerda alrededor de dos clavos y la tensas con un lápiz al dar una vuelta, la curva que trazas es una elipse, y la longitud de la cuerda es justamente esa suma constante. La órbita de un planeta alrededor del Sol también es una elipse ligeramente achatada. Mueve los deslizadores del semieje mayor a y el semieje menor b y comprueba que la suma de las distancias de un punto P a los dos focos se mantiene siempre igual a 2a.

Definición de la elipse
3
2
👀 ¿Qué es una elipse?
①Dos focos F y F'
②Cualquier punto P sobre la elipse cumple PF + PF' = 2a (constante)
③Cuanto mayor es a, más alargada
④Cuando b se acerca a a, se acerca a un círculo
Dibujar una elipse con cuerda y clavos
📌 Método de la cuerda
①Clava un clavo en cada foco
②Fija una cuerda de longitud 2a entre ambos
③Tensa la cuerda con un lápiz y traza una vuelta completa
④La longitud constante = PF + PF' = 2a
Forma estándar
Forma estándar (horizontal)
+ = 1 (a > b > 0)
Focos en (±c, 0); c² = a² − b²
Forma estándar (vertical)
+ = 1 (a > b > 0)
Focos en (0, ±c); c² = a² − b²
🔍 Deducción
①Definición: PF + PF' = 2a
②Aplica la fórmula de distancia con P(x,y), F(c,0), F'(-c,0)
③Simplificando: x²/a² + y²/b² = 1 con b² = a² − c²
④El denominador mayor indica la dirección del eje mayor
Excentricidad y forma
Excentricidad
e = ca (0 < e < 1)
e→0 es un círculo; e→1 es muy alargada
🎯 Intuición de la excentricidad
①Excentricidad e = c/a = (distancia focal)/(semieje mayor)
②e cerca de 0: focos cerca del centro → casi circular
③e cerca de 1: focos muy separados → muy alargada
④Las órbitas planetarias son elipses: Tierra e≈0,017 (casi circular), cometas e≈0,99 (muy alargada)
Practícalo
Ejemplo 1
Para la elipse x²/25 + y²/9 = 1, halla las coordenadas de los dos focos y la longitud del eje mayor.
1
Lee a y b, y halla c con c² = a² − b².
a²=25, b²=9 ⇒ c²=25−9=16, c=4
2
Los focos son (±c, 0) y el eje mayor mide 2a.
focos (±4, 0), eje mayor 2a=10
focos (±4, 0), longitud del eje mayor 10
El denominador mayor (25) está bajo x², así que el eje mayor es horizontal y los focos están sobre el eje x.
Ejemplo 2
Halla la ecuación de la elipse cuyos focos son (±3, 0) y cuya suma de distancias a los focos es 10.
1
De la suma de distancias 2a=10 halla a, y lee c de los focos.
2a=10 ⇒ a=5, c=3
2
Calcula b² = a² − c² y sustituye en la forma estándar.
b²=25−9=16 ⇒ 25 + 16 = 1
x²/25 + y²/16 = 1
Obtén primero a de la definición (suma de distancias = 2a); lee c directamente de los focos y así queda b².
Resumen
Relación clave
a² = b² + c²
semieje mayor² = semieje menor² + distancia focal²
Tipo de simulacro KICE 2022 Mat. (Geometría), adaptado
¿Cuál es la distancia entre los dos focos de la elipse x²/16 + y²/7 = 1?
6
5
4
3
8
① 6
1
Como a²=16 y b²=7, c² = a² − b² = 16−7 = 9, así que c=3.
2
La distancia entre los dos focos es 2c.
2c = 6
🎯 Puntos clave
①Definición: suma de distancias a los focos = 2a
②En la forma estándar, el mayor denominador marca el eje mayor
③Halla los focos con c² = a² − b²
④Excentricidad e = c/a (0 < e < 1)
⑤Si el centro es (h,k), traslada x→(x−h), y→(y−k)
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