Una parábola es la curva que forman todos los puntos que están a la misma distancia de un punto (el foco) y de una recta (la directriz).
Esa única regla de «igual distancia» es la que genera todas las propiedades de la parábola.
Por eso las antenas parabólicas y los faros de los coches tienen forma de parábola: reúnen la luz en el foco y la envían en rayos paralelos.
Mueve el deslizador de la distancia focal p y la parábola se ensancha y se estrecha, y la distancia de un punto P al foco es igual a su distancia a la directriz.
Intuición del foco y la directriz
La gráfica de una cuadrática y la regla foco-directriz nombran la misma curva, pero abren puertas distintas. Una parábola es el conjunto de puntos P cuya distancia al foco F iguala la distancia perpendicular a la directriz, y la forma estándar y² = 4px guarda esa regla en un solo coeficiente. El foco es (p, 0), la directriz es x = −p y el vértice es el origen, así que leer 4p da los tres sitios a la vez. La forma erguida es x² = 4py, y si el vértice pasa a (h, k) el foco se desplaza en el mismo sentido. Un haz de rayos paralelos es consecuencia de esa regla de igual distancia, no una propiedad que aparezca solo porque la ecuación sea cuadrática.
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Visualización del foco, la directriz y el vértice
El primer dibujo es la curva de lado y² = 4px. Un punto dorado F queda en (p, 0), una directriz azul a trazos se alza en x = −p, y el vértice O está en el origen. Desde el punto verde P un segmento va a F y otro encuentra la directriz en ángulo recto, con PF = Pd escrito al lado. La distancia focal p va de 0.5 a 3 y empieza en 1.5. Un p mayor coloca F más a la derecha, la directriz más a la izquierda y la curva más ancha. El segundo dibujo superpone tres curvas de comparación en p = 0.5, 1.0 y 2.0; el trazo más cercano al p elegido se ve más oscuro. El pie de ese dibujo dice que un p mayor hace una parábola más ancha.
1.5
👀 ¿Qué es una parábola?
①Toma un punto P sobre la parábola
②La distancia a F es igual a la distancia a la directriz
③Esta condición de «equidistancia» es la definición
④La luz emitida desde el foco se refleja paralela — antenas parabólicas, faros de coche, etc.
Cambio de forma según p
Si lees el coeficiente de la derecha de y² = 4px como si fuera p, el foco y la directriz caen cuatro veces más lejos. El número que hay que igualar es 4p; el foco es (p, 0) y la directriz es x = −p. Pensar que un p mayor estrecha la curva choca con el segundo dibujo. p = 2.0 abre más que p = 0.5. Mirar solo el vértice y saltarte foco y directriz te deja sin comprobar que las dos longitudes desde un punto de la curva deban coincidir. El deslizador de p en esta figura empieza en 0.5, así que solo se dibuja la forma que abre a la derecha; el caso p < 0 que abre a la izquierda está escrito como un signo en la fórmula.
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Comparación de parábolas con distintos valores de p
1.5
📏 Significado de p
①p grande: foco lejano, parábola ancha
②p pequeño: foco cercano, parábola estrecha
③La directriz está al otro lado del vértice, a la misma distancia del foco
④Las curvas comparadas son solo 0.5·1.0·2.0. El mismo p que el paso 1. El primer 1.5 no resalta
Deducción de la forma estándar
Forma estándar (horizontal)
y² = 4px
Foco F(p, 0); directriz x = −p; vértice en el origen
Forma estándar (vertical)
x² = 4py
Foco F(0, p); directriz y = −p; vértice en el origen
🔍 Pasos de la deducción
①Definición: PF = Pd (distancia al foco = distancia a la directriz)
②Distancia P(x,y) a F(p,0): √((x−p)² + y²)
③Distancia a la directriz x=−p: |x+p|
④Elevando al cuadrado: (x−p)² + y² = (x+p)²
⑤Desarrollando: y² = 4px. El signo de 4p es el sentido de apertura
Vértice fuera del origen
Parábola trasladada
(y − k)² = 4p(x − h)
Vértice (h, k); foco (h+p, k)
🎯 Esencia de la traslación
①Sustituye x por (x−h) y y por (y−k)
②El foco se traslada (h,k)
③Directriz: x = h−p
④La estructura de la fórmula no cambia
Practícalo
Ejemplo 1
Halla el foco y la directriz de la parábola y²=12x.
1
Compara con la forma estándar y²=4px para hallar p.
4p=12 ⇒ p=3
2
El foco es (p, 0) y la directriz es x=−p.
foco (3, 0), directriz x=−3
▸ foco (3, 0), directriz x=−3
En la forma y²=4px, comparar el valor de 4p da el foco y la directriz de inmediato.
Ejemplo 2
Halla las coordenadas del foco de la parábola (y−1)²=8(x−2).
1
El vértice es (2, 1) y de 4p=8 se obtiene p=2.
4p=8 ⇒ p=2, vértice (2, 1)
2
El foco está en (h+p, k), desplazado del vértice p a lo largo de x.
foco (2+2, 1) = (4, 1)
▸ (4, 1)
En una parábola trasladada, suma p al vértice (h,k) para obtener el foco. La directriz es x=h−p=0.
Resumen
Fórmula clave
y² = 4px
Foco (p,0) | directriz x=−p | p>0 abre a la derecha, p<0 a la izquierda
Tipo de simulacro KICE 2023 Mat. (Geometría), adaptado
Para la parábola y²=4px con foco (2, 0), ¿cuál es la ecuación de la directriz?
①x=−2
②x=2
③x=−1
④x=1
⑤y=−2
▸ ① x=−2
1
El foco de y²=4px es (p, 0), así que p=2.
2
La directriz es x=−p.
directriz x=−2
🎯 Puntos clave
①Definición: distancia al foco = distancia a la directriz
②En y²=4px el signo de 4p da el sentido de apertura
③Practica calcular foco y directriz rápidamente
④Si el vértice es (h,k), aplica la traslación
⑤El foco de la parábola es la base de antenas parabólicas y faros