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Mis palabras
3° Bachillerato (17-18 años)

Parábola

Parabola

Una parábola es la curva que forman todos los puntos que están a la misma distancia de un punto (el foco) y de una recta (la directriz). Esa única regla de «igual distancia» es la que genera todas las propiedades de la parábola. Por eso las antenas parabólicas y los faros de los coches tienen forma de parábola: reúnen la luz en el foco y la envían en rayos paralelos. Mueve el deslizador de la distancia focal p para ver cómo la parábola se ensancha y se estrecha, y para comprobar que la distancia de un punto P al foco siempre es igual a su distancia a la directriz.

Intuición del foco y la directriz
1.5
👀 ¿Qué es una parábola?
①Toma un punto P sobre la parábola
②La distancia a F es igual a la distancia a la directriz
③Esta condición de «equidistancia» es la definición
④La luz emitida desde el foco se refleja paralela — antenas parabólicas, faros de coche, etc.
Cambio de forma según p
1.5
📏 Significado de p
①p grande: foco lejano, parábola ancha
②p pequeño: foco cercano, parábola estrecha
③La directriz está al otro lado del vértice, a la misma distancia del foco
Deducción de la forma estándar
Forma estándar (horizontal)
y² = 4px
Foco F(p, 0); directriz x = −p; vértice en el origen
Forma estándar (vertical)
x² = 4py
Foco F(0, p); directriz y = −p; vértice en el origen
🔍 Pasos de la deducción
①Definición: PF = Pd (distancia al foco = distancia a la directriz)
②Distancia P(x,y) a F(p,0): √((x−p)² + y²)
③Distancia a la directriz x=−p: |x+p|
④Elevando al cuadrado: (x−p)² + y² = (x+p)²
⑤Desarrollando: y² = 4px
Vértice fuera del origen
Parábola trasladada
(y − k)² = 4p(x − h)
Vértice (h, k); foco (h+p, k)
🎯 Esencia de la traslación
①Sustituye x por (x−h) y y por (y−k)
②El foco se traslada (h,k)
③Directriz: x = h−p
④La estructura de la fórmula no cambia
Practícalo
Ejemplo 1
Halla el foco y la directriz de la parábola y²=12x.
1
Compara con la forma estándar y²=4px para hallar p.
4p=12 ⇒ p=3
2
El foco es (p, 0) y la directriz es x=−p.
foco (3, 0), directriz x=−3
▸ foco (3, 0), directriz x=−3
En la forma y²=4px, comparar el valor de 4p da el foco y la directriz de inmediato.
Ejemplo 2
Halla las coordenadas del foco de la parábola (y−1)²=8(x−2).
1
El vértice es (2, 1) y de 4p=8 se obtiene p=2.
4p=8 ⇒ p=2, vértice (2, 1)
2
El foco está en (h+p, k), desplazado del vértice p a lo largo de x.
foco (2+2, 1) = (4, 1)
▸ (4, 1)
En una parábola trasladada, suma p al vértice (h,k) para obtener el foco. La directriz es x=h−p=0.
Resumen
Fórmula clave
y² = 4px
Foco (p,0) | directriz x=−p | p>0 abre a la derecha, p<0 a la izquierda
Tipo de simulacro KICE 2023 Mat. (Geometría), adaptado
Para la parábola y²=4px con foco (2, 0), ¿cuál es la ecuación de la directriz?
①x=−2
②x=2
③x=−1
④x=1
⑤y=−2
▸ ① x=−2
1
El foco de y²=4px es (p, 0), así que p=2.
2
La directriz es x=−p.
directriz x=−2
🎯 Puntos clave
①Definición: distancia al foco = distancia a la directriz
②En y²=4px el signo de 4p da el sentido de apertura
③Practica calcular foco y directriz rápidamente
④Si el vértice es (h,k), aplica la traslación
⑤El foco de la parábola es la base de antenas parabólicas y faros
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Elipse
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