Una parábola es la curva formada por los puntos que están a la misma distancia de un punto fijo, el foco, y de una recta fija, la directriz.
De esa única condición de igual distancia salen la ecuación de la parábola y todas sus propiedades.
Las antenas parabólicas y los faros de los coches tienen forma de parábola porque la luz que sale del foco se refleja en ella paralela al eje.
Al mover la distancia focal p y la posición del punto P, la parábola se abre más o menos, pero PF y PD siempre son iguales.
Foco y directriz
La parábola aparece primero como gráfica de una función cuadrática, pero definirla con un foco y una directriz explica con una sola condición por qué la curva tiene esa forma. Si se escribe en coordenadas que un punto P de la curva está tan lejos del foco F como de la directriz, se obtiene la forma canónica y² = 4px. Basta leer 4p en esta ecuación para fijar a la vez el foco (p, 0), la directriz x = −p y el vértice en el origen. Una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo tiene la forma x² = 4py, y si el vértice pasa a (h, k), el foco y la directriz se desplazan en la misma dirección y la misma cantidad. Que la luz que sale del foco se refleje en un haz paralelo al eje también es una consecuencia de esta condición de distancias.
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El foco F y la directriz de y² = 4px, un punto P de la curva y el pie D de su perpendicular
La primera figura muestra la parábola y² = 4px, abierta hacia la derecha. El punto dorado es el foco F(p, 0), la línea discontinua azul es la directriz x = −p y el punto verde P se mueve por la curva. El segmento verde es PF y el azul es PD, la perpendicular de P a la directriz; la franja superior muestra las dos longitudes. Al subir o bajar P, o al cambiar la distancia focal p entre 0,5 y 3, PF y PD siguen siendo iguales, y las dos valen x + p. La segunda figura tiene curvas de referencia tenues para p = 0,5, 1 y 2, con la curva y el foco del p elegido dibujados encima en dorado. Al compararla con las de referencia se ve que, cuanto mayor es p, más se abre la curva.
1,5
2,5
👀 Definición de parábola
①Esté donde esté P sobre la curva, PF = PD
②Esa condición de igual distancia es la definición de parábola
③Como PD = x + p, también PF = x + p, y al escribirlo como ecuación sale y² = 4px
④La luz que sale del foco se refleja en la parábola paralela al eje; así funcionan las antenas parabólicas y los faros
Cómo cambia la forma con p
Si en y² = 4px se lee el coeficiente de x como p en lugar de 4p, el foco y la directriz quedan cuatro veces más lejos. Para y² = 12x, 4p = 12, así que p = 3, el foco es (3, 0) y la directriz es x = −3. Es fácil pensar que un p mayor estrecha la curva, pero ocurre al revés. Para el mismo x, el tamaño de y en y² = 4px crece con p, así que en la segunda figura la curva de p = 2 se abre más que la de p = 0,5. Y si solo se mira el vértice y se olvidan el foco y la directriz, se pierde la comprobación de que las dos distancias desde un punto de la curva son iguales. La figura solo muestra p > 0; con p < 0 la misma ecuación describe una parábola abierta hacia la izquierda.
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Curvas de referencia para p = 0,5, 1 y 2 y la parábola del p elegido
1,5
📏 Qué significa p
①p es la distancia del vértice al foco, y también del vértice a la directriz
②Con p grande, el foco queda más lejos y la parábola se abre más
③Con p pequeño, el foco se acerca al vértice y la parábola se estrecha
④La cuerda que pasa por el foco perpendicular al eje mide 4p
Deducción de la forma canónica
Forma canónica (abierta a izquierda o derecha)
y² = 4px
Foco F(p, 0), directriz x = −p, vértice en el origen
Forma canónica (abierta hacia arriba o abajo)
x² = 4py
Foco F(0, p), directriz y = −p, vértice en el origen
🔍 Cómo se plantea la ecuación
①La definición es PF = PD
②La distancia de P(x, y) a F(p, 0) es √((x − p)² + y²)
③La distancia a la directriz x = −p es |x + p|
④Al igualarlas y elevar al cuadrado, (x − p)² + y² = (x + p)²
⑤Al simplificar queda y² = 4px, y el signo de p decide hacia dónde se abre
Cuando el vértice no está en el origen
Parábola trasladada
(y − k)² = 4p(x − h)
Vértice (h, k), foco (h + p, k), directriz x = h − p
🎯 La clave de la traslación
①Se sustituye x por x − h e y por y − k
②El foco se desplaza igual y pasa a (h + p, k)
③La directriz pasa a x = h − p
④La relación entre p y 4p no cambia
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Halla el foco y la directriz de la parábola y² = 12x.
1
Se compara con la forma canónica y² = 4px para hallar p.
4p = 12 ⇒ p = 3
2
El foco es (p, 0) y la directriz es x = −p.
foco (3, 0), directriz x = −3
▸ Foco (3, 0), directriz x = −3
En la forma y² = 4px, basta comparar el valor de 4p para obtener enseguida el foco y la directriz.
Ejemplo 2
Halla las coordenadas del foco de la parábola (y − 1)² = 8(x − 2).
1
El vértice es (2, 1), y de 4p = 8 sale p = 2.
4p = 8 ⇒ p = 2, vértice (2, 1)
2
El foco es el vértice desplazado p en la dirección x, (h + p, k).
(2 + 2, 1) = (4, 1)
▸ (4, 1)
En una parábola trasladada, se suma p al vértice (h, k) para obtener el foco. La directriz es x = h − p = 0.
Resumen
Fórmula clave
y² = 4px
Foco (p, 0), directriz x = −p; se abre a la derecha si p > 0 y a la izquierda si p < 0
Tipo de simulacro KICE 2023 Mat. (Geometría), adaptado
Si el foco de la parábola y² = 4px es (2, 0), ¿cuál es la ecuación de la directriz?
①x = −2
②x = 2
③x = −1
④x = 1
⑤y = −2
▸ ① x = −2
1
El foco de y² = 4px es (p, 0), así que p = 2.
2
La directriz es x = −p.
directriz x = −2
🎯 Claves para el examen
①La parábola se define por la igualdad de distancias al foco y a la directriz
②En y² = 4px, el signo de 4p indica hacia dónde se abre
③Se lee 4p en el coeficiente de x, se halla p y se escriben el foco y la directriz
④Si el vértice es (h, k), se piensa en una traslación
⑤La distancia de un punto de la curva al foco es más fácil de calcular como distancia a la directriz