Aplicaciones de la integral definida

Applications of Definite Integrals

Haz girar una sola curva alrededor del eje x y barre un sólido. Corta ese sólido en discos muy finos y cada uno es un círculo de radio f(x), así que apilar sus áreas π[f(x)]² al integrar da el volumen. La longitud de arco usa la misma idea: trocea la curva en pequeños segmentos rectos ds = √(dx²+dy²), mide cada uno con el teorema de Pitágoras y súmalos todos. Gira el ángulo de rotación abajo para ver formarse el sólido, y mueve el límite superior t para ver cómo la longitud de arco se acumula tramo a tramo.

Volumen de un sólido de revolución

ángulo de rotación270°

función0

🍩 Apilando discos

①Al girar la curva alrededor del eje x se forma un sólido

②En cada posición x el disco tiene radio f(x)

③Área del disco = π[f(x)]² → al integrar obtienes el volumen

Fórmulas del volumen

Método de los discos

V = π ∫_a^b [f(x)]² dx

al girar alrededor del eje x: integra el área de discos de radio f(x)

Método de las arandelas

V = π ∫_a^b ([R(x)]² − [r(x)]²) dx

región entre dos funciones: radio externo R y interno r

Método de las capas

V = 2π ∫_a^b x · f(x) dx

al girar alrededor del eje y: integra capas cilíndricas de radio x y altura f(x)

💡 Discos vs capas

①Eje x + integrar respecto a x → discos

②Eje y + integrar respecto a x → capas

③Si ambos se pueden, elige el más sencillo

Longitud de arco

límite superior t3

📏 Medir a lo largo de la curva

①Si troceas la curva en segmentos cortos, son casi rectos (ds)

②ds = √(dx² + dy²) — ¡Pitágoras!

③Sumando (integrando) todos los ds obtienes la longitud

Fórmula de la longitud de arco

L = ∫_a^b √(1 + [f'(x)]²) dx

es la integral de ds = √(1 + (dy/dx)²) dx

Áreas, velocidad y distancia

Área entre dos curvas

S = ∫_a^b |f(x) − g(x)| dx

integra el valor absoluto de la diferencia (curva superior menos inferior)

Velocidad y distancia

distancia = ∫_a^b |v(t)| dt, desplazamiento = ∫_a^b v(t) dt

la integral de |v| es la distancia recorrida; la de v es el desplazamiento con signo

🚗 Significado físico

①∫ v(t) → distancia

②∫ a(t) → velocidad

③Integrar es acumular: sumas instantes para obtener el total

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Halla el volumen del sólido al girar y = √x (0 ≤ x ≤ 4) alrededor del eje x.

Usa el método del disco V = π∫[f(x)]² dx, con [f(x)]² = x.

V = π ∫₀⁴ (√x)² dx = π ∫₀⁴ x dx

Evalúa la integral definida.

π · 4²2 = π · 8 = 8π

▸ 8π

Un volumen de revolución integra el área del disco π[f(x)]². Para giro alrededor del eje x, el método del disco es el estándar.

Ejemplo 2

Halla el área encerrada por y = x² y y = 2x.

Halla las intersecciones para fijar los límites y las funciones superior/inferior.

x² = 2x ⇒ x = 0, 2, superior 2x · inferior x²

Integra (superior − inferior).

∫₀² (2x − x²) dx = 4 − 83 = 43

▸ 43

El área integra (superior − inferior) entre los puntos de corte. Comprueba primero cuál función está arriba.

Resumen

Tres fórmulas clave

V = π ∫ [f(x)]² dx, L = ∫ √(1 + [f']²) dx, S = ∫ |f − g| dx

volumen de revolución, longitud de arco y área entre curvas

tipo examen (variante)

Un punto P se mueve sobre una recta con velocidad v(t) = 3t² − 6t. ¿Qué distancia recorre P de t = 0 a t = 3?

①4

②6

③8

④10

⑤12

▸ ③ 8

Examina el signo de v(t) = 3t(t − 2): negativo en (0,2), positivo en (2,3).

v(t) = 3t(t − 2), posición s(t) = t³ − 3t²

La distancia total es ∫|v| dt, así que suma los desplazamientos absolutos de cada subintervalo.

|s(2) − s(0)| + |s(3) − s(2)| = 4 + 4 = 8

🎯 Puntos clave

①Discos: V = π ∫ [f(x)]² dx (eje x)

②Arandelas: cuidado con R² − r²

③Capas: 2π ∫ x f(x) dx (eje y)

④Longitud: necesitas f' primero

⑤Área: revisa los puntos donde se cruzan f y g

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Área entre curvas

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