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Aplicaciones de la integral definida

Applications of Definite Integrals

Si una curva da una vuelta completa alrededor del eje x, se forma un sólido. Al cortar ese sólido en láminas finas perpendiculares al eje x, cada corte es un disco de radio f(x), así que integrando el área del disco, π[f(x)]², respecto de x se obtiene el volumen. La longitud de una curva sigue la misma idea: se corta la curva en segmentos muy cortos ds = √(dx² + dy²), se mide cada uno con el teorema de Pitágoras y se suman todos. Al girar el ángulo, la curva da vueltas alrededor del eje x dibujando los círculos de las secciones; al mover el límite superior t, cambian a la vez la longitud de la curva y su valor exacto.

Volumen de un sólido de revolución

270°
√x
🍩 Apilar discos
①Al girar la curva una vuelta completa alrededor del eje x se obtiene un sólido. La curva discontinua es la curva girada según el ángulo, y los arcos naranjas son los círculos de las secciones en cada x
②La sección en x es un disco de radio f(x), cuya área es π[f(x)]²
③Al integrar esa área respecto de x se obtiene el volumen; bajo la figura aparece el volumen exacto de la función elegida

Tres maneras de hallar un volumen

Método de los discos
V = π ∫ab [f(x)]² dx
Para un giro alrededor del eje x, se integra el área de un disco de radio f(x)
Método de las arandelas
V = π ∫ab ([R(x)]² − [r(x)]²) dx
Al girar la región entre dos curvas, se integra el área de un anillo: el círculo de radio exterior R menos el de radio interior r
Método de las capas cilíndricas
V = 2π ∫ab x · f(x) dx
Para un giro alrededor del eje y, se integra el área lateral 2πx · f(x) de una capa cilíndrica fina de radio x y altura f(x)
💡 Qué método usar
①Girar alrededor del eje x e integrar en x es el método de los discos
②En un sólido hueco por dentro, las arandelas restan el círculo interior del exterior
③Si se gira alrededor del eje y pero se quiere integrar en x, se usan las capas cilíndricas. Si valen los dos, se elige el que simplifique el cálculo

Longitud de una curva

3
📏 Medir a lo largo de la curva
①Al cortar la curva en trozos muy cortos, cada uno se parece a un segmento recto ds
②ds = √(dx² + dy²) es el teorema de Pitágoras; como dy = f′(x) dx, ds = √(1 + [f′(x)]²) dx
③Para y = x√x, f′(x) = (3/2)√x, así que 1 + [f′(x)]² = 1 + 9x/4, y su integral de 0 a t es la L que aparece bajo la figura
④Un segmento recto que une los mismos dos extremos es más corto que L
Longitud de una curva
L = ∫ab √(1 + [f′(x)]²) dx
Se integra ds = √(1 + (dy/dx)²) dx

Área y distancia recorrida

Área entre dos curvas
S = ∫ab |f(x) − g(x)| dx
Se integra la función de arriba menos la de abajo; si se cruzan, se divide el intervalo en los puntos de corte
Velocidad y distancia
distancia = ∫ab |v(t)| dt, desplazamiento = ∫ab v(t) dt
Integrar el valor absoluto de la velocidad da la distancia realmente recorrida; integrar la velocidad tal cual da el cambio de posición (desplazamiento)
🚗 Cantidades que se acumulan con integrales
①Integrar la velocidad v(t) da el cambio de posición (desplazamiento); integrar |v(t)| da la distancia recorrida
②Integrar la aceleración a(t) da el cambio de velocidad
③Una integral va sumando cantidades pequeñas: apilar áreas de discos da un volumen, y unir segmentos cortos da la longitud de una curva

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1
Halla el volumen del sólido que se obtiene al girar y = √x (0 ≤ x ≤ 4) alrededor del eje x.
1
Se usa el método de los discos, V = π∫[f(x)]² dx, con [f(x)]² = x.
V = π ∫04 (√x)2 dx = π ∫04 x dx
2
Se calcula la integral definida.
π · 422 = π · 8 = 8π
▸ 8π
El volumen de un sólido de revolución es la integral del área de la sección, π[f(x)]². En la figura, y = √x va de 0 a 2 y da 2π; de 0 a 4 da 8π.
Ejemplo 2
Halla el área encerrada por las curvas y = x2 e y = 2x.
1
Se buscan los puntos de corte para fijar el intervalo. Para 0 < x < 2, 2x queda arriba y x2 abajo.
x2 = 2x ⇒ x = 0, 2
2
Se integra (arriba − abajo).
∫02 (2x − x2) dx = 4 − 83 = 43
▸ 43
El área entre curvas es la integral de (arriba − abajo) entre los puntos de corte. Primero se comprueba qué curva queda arriba.

Resumen

Tres fórmulas de aplicación
V = π∫[f(x)]²dx, L = ∫√(1 + [f′(x)]²)dx, S = ∫|f − g|dx
Volumen de un sólido de revolución, longitud de una curva, área entre dos curvas
Problema tipo CSAT, adaptado
Un punto P se mueve sobre una recta numérica con velocidad v(t) = 3t2 − 6t. ¿Qué distancia recorre P desde t = 0 hasta t = 3?
①4
②6
③8
④10
⑤12
▸ ③ 8
1
Se mira el signo de v(t) = 3t(t − 2): negativo para 0 < t < 2 y positivo para 2 < t < 3. La posición es s(t) = t3 − 3t2.
v(t) = 3t(t − 2), s(t) = t3 − 3t2
2
La distancia recorrida es ∫|v| dt, así que se suman los valores absolutos del desplazamiento en cada tramo.
|s(2) − s(0)| + |s(3) − s(2)| = 4 + 4 = 8
🎯 Claves para el examen
①El método de los discos, V = π∫[f(x)]² dx, es la base para giros alrededor del eje x
②Las arandelas usan una diferencia de cuadrados, [R(x)]² − [r(x)]², no (R − r)²
③Las capas cilíndricas, 2π∫x · f(x) dx, son cómodas para giros alrededor del eje y
④Para la longitud de una curva, lo clave es hallar primero f′(x) y simplificar √(1 + [f′(x)]²)
⑤Para las áreas, primero se comprueba dónde se cruzan las curvas
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Parábola

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