Área entre curvas

Area Between Curves

Resta la curva inferior de la superior

Extremo derecho b1

👀 Velo

①El área entre dos curvas es la integral de (superior − inferior)

②En [0,1], y=x es superior e y=x² inferior

③Al llevar b hasta 1, el área se llena hasta 1/6

La fórmula del área

Área entre dos curvas

S = ∫_a^b (f(x) − g(x)) dx (f ≥ g)

a, b son las abscisas de las intersecciones; f es la curva superior, g la inferior

Halla primero las intersecciones

Límites de integración = intersecciones

f(x) = g(x)

Resolver las dos ecuaciones da las x que serán los límites a y b

Calcúlalo directamente

Ejemplo 1

Halla el área encerrada por y=x e y=x².

Halla las intersecciones — resuelve las dos ecuaciones.

x = x² ⇒ x = 0, 1

En [0,1] la recta x es superior, así que integra (x − x²).

S = ∫₀¹ (x − x²) dx = [x²2 − x³3]₀¹ = 16

▸ 1/6

Sustituye un punto del intervalo para ver qué curva es superior y evitar errores de signo.

Ejemplo 2

Halla el área encerrada por y=x² y la recta y=2x.

Halla las intersecciones.

x² = 2x ⇒ x = 0, 2

En [0,2] la recta 2x es superior, así que integra (2x − x²).

S = ∫₀² (2x − x²) dx = [x² − x³3]₀² = 43

▸ 4/3

Para una curva y una recta, el principio (superior − inferior) es idéntico.

Resumen

Estrategia central

S = ∫_a^b (superior − inferior) dx, a·b son intersecciones

Fija los límites por las intersecciones e integra superior menos inferior

Tipo de simulacro provincial 2022 Mat., adaptado

¿Cuál es el área encerrada por y=x²−2x y el eje x?

①2/3

②1

③4/3

④2

⑤8/3

▸ ③ 4/3

Halla las intersecciones con el eje x (y=0).

x² − 2x = 0 ⇒ x = 0, 2

En [0,2] la curva está bajo el eje, así que integra (0 − (x²−2x)).

S = ∫₀² (2x − x²) dx = 43

🎯 Puntos de examen

①Área = ∫(superior − inferior)dx

②Los límites deben ser las intersecciones

③Si la curva está bajo el eje, integra (0 − curva) = −curva

④Si superior e inferior se intercambian, divide el intervalo

⑤Puedes usar valor absoluto, pero revisa el signo en cada tramo

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