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Área entre curvas

Area Between Curves

La idea para hallar el área encerrada entre dos curvas es más sencilla de lo que parece. Se resta la curva de abajo a la de arriba y se integra la diferencia: eso es el área entre ellas. Así que primero se buscan los puntos donde se cortan, que serán los extremos del intervalo, y luego se comprueba qué curva queda arriba. En el dibujo, al mover el extremo derecho b, el área entre y = x e y = x² se va llenando hasta 1/6 en b = 1.

Curva de arriba menos curva de abajo

1
👀 Qué leer en el dibujo
①El área entre dos curvas es la integral de (curva de arriba − curva de abajo)
②En 0 ≤ x ≤ 1, y = x está arriba e y = x² abajo
③Al llevar b hasta 1, el área llega a 1/6 ≈ 0,1667
④Para x > 1, y = x² pasa por encima y el orden se invierte

La fórmula del área

Área entre dos curvas
S = ∫ab (f(x) − g(x)) dx (f ≥ g)
a y b son las abscisas de los puntos de corte; f es la curva de arriba y g la de abajo

Primero, los puntos de corte

El intervalo sale de los puntos de corte
f(x) = g(x)
Al igualar las dos expresiones y resolver, los valores de x son los extremos a y b

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1
Halla el área encerrada por y=x e y=x².
1
Se igualan las dos expresiones para hallar los puntos de corte.
x = x2 ⇒ x = 0, 1
2
En 0 ≤ x ≤ 1, y = x queda arriba, así que se integra x − x².
S = ∫01 (x − x2) dx = [x22 − x33]01 = 16
▸ 1/6
Con x = 1/2 sale x = 0,5, mayor que x² = 0,25, así que y = x queda arriba. Probar un solo punto evita restar al revés.
Ejemplo 2
Halla el área encerrada por y=x² y la recta y=2x.
1
Se igualan las dos expresiones para hallar los puntos de corte.
x2 = 2x ⇒ x = 0, 2
2
En 0 ≤ x ≤ 2, la recta y = 2x queda arriba, así que se integra 2x − x².
S = ∫02 (2x − x2) dx = [x2 − x33]02 = 43
▸ 4/3
Entre una curva y una recta la regla es la misma: se integra la de arriba menos la de abajo.

Resumen

Estrategia
S = ∫ab (superior − inferior) dx, a·b son intersecciones
Se fija el intervalo con los puntos de corte y se integra la de arriba menos la de abajo
Tipo de simulacro provincial 2022 Mat., adaptado
¿Cuál es el área encerrada por y=x²−2x y el eje x?
①2/3
②1
③4/3
④2
⑤8/3
▸ ③ 4/3
1
Se hallan los puntos de corte con el eje x (y = 0).
x2 − 2x = 0 ⇒ x = 0, 2
2
En 0 ≤ x ≤ 2 la curva queda bajo el eje x, así que se integra 0 − (x² − 2x).
S = ∫02 (2x − x2) dx = 43
🎯 Puntos de examen
①El área es la integral de (arriba − abajo)
②Los extremos del intervalo se toman en los puntos de corte
③Si la curva está bajo el eje x, se integra (0 − curva)
④Si el orden cambia a mitad de camino, se divide el intervalo en ese punto
⑤Aunque se escriba con valor absoluto, al calcular se comprueba el signo en cada trozo
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