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Mis palabras
3° Bachillerato (17-18 años)

Área entre curvas

Area Between Curves

El área atrapada entre dos curvas es más sencilla de lo que parece. Tomas la curva superior, le restas la inferior e integras esa diferencia — el resultado es justo el área que hay entre ambas. Por eso el trabajo real es hallar dónde se cruzan las dos curvas: esos puntos de corte se vuelven los dos límites de la integral, y luego solo compruebas cuál curva queda arriba. Mueve abajo el extremo derecho b para hacer crecer la región entre y=x e y=x² y ver cómo su área se llena hasta 1/6.

Resta la curva inferior de la superior
1
👀 Velo
①El área entre dos curvas es la integral de (superior − inferior)
②En [0,1], y=x es superior e y=x² inferior
③Al llevar b hasta 1, el área se llena hasta 1/6
La fórmula del área
Área entre dos curvas
S = ∫ab (f(x) − g(x)) dx (f ≥ g)
a, b son las abscisas de las intersecciones; f es la curva superior, g la inferior
Halla primero las intersecciones
Límites de integración = intersecciones
f(x) = g(x)
Resolver las dos ecuaciones da las x que serán los límites a y b
Calcúlalo directamente
Ejemplo 1
Halla el área encerrada por y=x e y=x².
1
Halla las intersecciones — resuelve las dos ecuaciones.
x = x2 ⇒ x = 0, 1
2
En [0,1] la recta x es superior, así que integra (x − x²).
S = ∫01 (x − x2) dx = [x22 − x33]01 = 16
▸ 1/6
Sustituye un punto del intervalo para ver qué curva es superior y evitar errores de signo.
Ejemplo 2
Halla el área encerrada por y=x² y la recta y=2x.
1
Halla las intersecciones.
x2 = 2x ⇒ x = 0, 2
2
En [0,2] la recta 2x es superior, así que integra (2x − x²).
S = ∫02 (2x − x2) dx = [x2 − x33]02 = 43
▸ 4/3
Para una curva y una recta, el principio (superior − inferior) es idéntico.
Resumen
Estrategia central
S = ∫ab (superior − inferior) dx, a·b son intersecciones
Fija los límites por las intersecciones e integra superior menos inferior
Tipo de simulacro provincial 2022 Mat., adaptado
¿Cuál es el área encerrada por y=x²−2x y el eje x?
①2/3
②1
③4/3
④2
⑤8/3
▸ ③ 4/3
1
Halla las intersecciones con el eje x (y=0).
x2 − 2x = 0 ⇒ x = 0, 2
2
En [0,2] la curva está bajo el eje, así que integra (0 − (x²−2x)).
S = ∫02 (2x − x2) dx = 43
🎯 Puntos de examen
①Área = ∫(superior − inferior)dx
②Los límites deben ser las intersecciones
③Si la curva está bajo el eje, integra (0 − curva) = −curva
④Si superior e inferior se intercambian, divide el intervalo
⑤Puedes usar valor absoluto, pero revisa el signo en cada tramo
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