Derivadas de diversas funciones

Derivatives of Transcendental Functions

Las funciones exponencial, trigonométricas y logarítmica no son polinomios, pero cada una tiene una fórmula de derivación sencilla. eˣ, en particular, se queda igual al derivarla, así que en cada punto la pendiente de su tangente es igual a la altura de la gráfica. Que sin x se derive en cos x, y cos x en −sin x, no es más que leer lo rápido que sube y baja cada gráfica. Al mover el punto de tangencia se comparan la pendiente y la altura sobre eˣ, y se comprueba que la pendiente de la tangente a sin x coincide con la altura de cos x.

Una función que es su propia derivada

Punto de tangencia x1

👀 Altura y pendiente coinciden

①La curva dorada es y = eˣ y la recta azul es la tangente en el punto elegido

②Como (eˣ)′ = eˣ, la pendiente de la tangente es igual a la altura eˣ del punto

③Por eso la tangente corta siempre al eje x exactamente 1 unidad a la izquierda del punto: es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de base 1 y altura eˣ

Derivadas trigonométricas

🔄 La pendiente de sin x y cos x

①Cuando sin x está en su máximo (x = π/2), la tangente es horizontal, y ahí cos x = 0

②Donde sin x crece, cos x > 0; donde decrece, cos x < 0

③En x = 0, donde sin x sube con más inclinación, cos x alcanza su valor máximo, 1. La derivada es una tasa de cambio, y por eso encajan así

Fórmulas de diversas funciones

Funciones exponenciales

(eˣ)′ = eˣ, (aˣ)′ = aˣ ln a

Con base e, la derivada es la propia función; con base a, aparece un factor ln a

Funciones trigonométricas

(sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

sin x se deriva en cos x, y cos x en −sin x

Funciones logarítmicas

(ln x)' = 1x, (log_a x)' = 1x ln a

La derivada del logaritmo natural es 1/x; para base a se multiplica por 1/ln a

Las demás funciones trigonométricas

Derivadas de tan x y sec x

(tan x)′ = sec²x, (sec x)′ = sec x · tan x

Al aplicar la regla del cociente a tan x = sin x / cos x se obtiene 1/cos²x = sec²x

Derivadas de cot x y csc x

(cot x)′ = −csc²x, (csc x)′ = −csc x · cot x

Las derivadas de cot x y csc x llevan signo menos

💡 Cómo recordarlas

①sin x se deriva en cos x, sin cambio de signo

②cos x se deriva en −sin x

③tan x se deriva en sec²x

④Las funciones cuyo nombre empieza por co, es decir, cos, cot y csc, tienen derivadas con signo menos

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Deriva y = e^x sin x.

Se usa la regla del producto (fg)′ = f′g + fg′ con f = e^x y g = sin x.

(e^x sin x)′ = (e^x)′ sin x + e^x (sin x)′

Se sustituyen (e^x)′ = e^x y (sin x)′ = cos x.

e^x sin x + e^x cos x = e^x(sin x + cos x)

▸ e^x(sin x + cos x)

Como e^x no cambia al derivar, una expresión con el factor e^x solo pide aplicar bien la regla del producto.

Ejemplo 2

Deriva y = ln(cos x).

Se deriva la función exterior ln u y se multiplica por la derivada de la interior, u = cos x.

y' = 1cos x · (cos x)'

Se sustituye (cos x)′ = −sin x.

y' = -sin xcos x = -tan x

▸ −tan x

Como (ln u)′ = u′/u, la derivada de cos x, −sin x, queda en el numerador. La regla de la cadena se ve con detalle en el tema siguiente.

Resumen

Derivadas más usadas

(eˣ)′ = eˣ, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (ln x)′ = 1/x

Son las cuatro fórmulas que más se usan

Problema tipo CSAT, adaptado

Para f(x) = x ln x, ¿cuánto vale f′(e)?

①1

②2

③e

④e + 1

⑤2e

▸ ② 2

Se halla f′(x) con la regla del producto.

f'(x) = ln x + x · 1x = ln x + 1

Se sustituye x = e, teniendo en cuenta que ln e = 1.

f′(e) = ln e + 1 = 1 + 1 = 2

🎯 Claves para el examen

①(eˣ)′ = eˣ: al derivar no cambia

②Derivando sin x una y otra vez se obtiene cos x → −sin x → −cos x → sin x, y se vuelve al principio en cuatro pasos

③(ln x)′ = 1/x es la base de la derivación logarítmica

④En (aˣ)′ = aˣ ln a, con a = e se tiene ln e = 1 y queda (eˣ)′ = eˣ

⑤Las funciones trigonométricas que empiezan por co tienen derivadas con signo menos

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Métodos de derivación

Última actualización 2026-10-17

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