Derivación de funciones

Derivatives of Transcendental Functions

Las funciones que no son polinómicas, como las exponenciales, las trigonométricas y los logaritmos, tienen cada una una fórmula de derivada sorprendentemente limpia. En particular, eˣ es la única función que sigue siendo exactamente ella misma por más veces que la derives, así que en cada punto la pendiente de su tangente coincide con la altura de la curva allí. El ciclo en el que sin se convierte en cos y cos se convierte en −sin no es más que leer cómo sube y baja cada gráfica. Mueve el punto de tangencia x y la pendiente de eˣ sigue su propio valor; desplaza x y responde cos mientras sin va creciendo.

La función cuya derivada es ella misma

punto de tangencia x1

👀 Propiedad sorprendente

En oro eˣ, en azul punteado la tangente. La pendiente de la tangente (la derivada) siempre coincide con el valor en ese punto: (eˣ)' = eˣ.

Derivada de las funciones trigonométricas

posición x1

🔄 sin → cos

①Cuando sin x está en su máximo, cos x = 0

②En tramos crecientes de sin, cos > 0

③En tramos decrecientes, cos < 0

④La derivada es la velocidad de cambio: tiene sentido

Fórmulas de derivadas trascendentes

Exponenciales

(eˣ)' = eˣ, (aˣ)' = aˣ ln a

eˣ es su propia derivada; aˣ se multiplica además por ln a

Trigonométricas

(sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x

sin → cos; cos → −sin

Logaritmos

(ln x)' = 1x, (log_a x)' = 1x ln a

ln tiene derivada 1/x; log_a se divide entre ln a

Otras trigonométricas

tan y sec

(tan x)' = sec²x, (sec x)' = sec x · tan x

derivadas de tan y sec

cot y csc

(cot x)' = −csc²x, (csc x)' = −csc x · cot x

ojo con los signos negativos en cot y csc

💡 Truco mnemotécnico

①sin → cos: positivo

②cos → −sin: negativo

③tan → sec²

④Las funciones que empiezan por co- (cos, cot, csc) llevan signo negativo al derivar

⑤tan·sec son solo cajas de fórmula. No hay dibujo

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Deriva y = e^x sin x.

Aplica la regla del producto (fg)′ = f′g + fg′ con f = e^x, g = sin x.

(e^x sin x)' = (e^x)' sin x + e^x (sin x)'

Sustituye (e^x)' = e^x y (sin x)' = cos x.

e^x sin x + e^x cos x = e^x(sin x + cos x)

▸ e^x(sin x + cos x)

Como e^x es su propia derivada, una expresión con factor e^x solo necesita aplicar bien la regla del producto. La regla del producto completa está en la página siguiente.

Ejemplo 2

Deriva y = ln(cos x).

Regla de la cadena: deriva el ln u externo (u = cos x) y multiplica por la derivada interna.

y' = 1cos x · (cos x)'

Sustituye (cos x)′ = −sin x.

y' = -sin xcos x = -tan x

▸ -tan x

Para logaritmos, (ln u)′ = u′/u. Aquí la derivada de cos x, que es −sin x, pasa al numerador. La regla de la cadena completa está en la página siguiente.

Resumen

Derivadas esenciales

(eˣ)' = eˣ, (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x, (ln x)' = 1/x

las cuatro derivadas trascendentes que más caen

tipo de examen

Para f(x) = x ln x, ¿cuánto vale f′(e)?

①1

②2

③e

④e + 1

⑤2e

▸ ② 2

Halla f′(x) con la regla del producto.

f'(x) = ln x + x · 1x = ln x + 1

Sustituye x = e (ln e = 1).

f'(e) = ln e + 1 = 1 + 1 = 2

🎯 Puntos clave

①(eˣ)' = eˣ: la única invariable

②Ciclo trig: sin → cos → −sin → −cos

③(ln x)' = 1/x: base de la derivación logarítmica

④(aˣ)' = aˣ ln a; con a = e, ln e = 1

⑤Las co- llevan signo negativo

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Métodos de derivación

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