Las funciones que no son polinómicas, como las exponenciales, las trigonométricas y los logaritmos, tienen cada una una fórmula de derivada sorprendentemente limpia.
En particular, eˣ es la única función que sigue siendo exactamente ella misma por más veces que la derives, así que en cada punto la pendiente de su tangente coincide con la altura de la curva allí.
El ciclo en el que sin se convierte en cos y cos se convierte en −sin no es más que leer cómo sube y baja cada gráfica.
Mueve el punto de tangencia x para comprobar que la pendiente de eˣ sigue su propio valor, y desplaza x para ver cómo responde cos mientras sin va creciendo.
La función cuya derivada es ella misma
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eˣ y su tangente: la pendiente coincide con el valor de la función
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👀 Propiedad sorprendente
En oro eˣ, en azul punteado la tangente. La pendiente de la tangente (la derivada) siempre coincide con el valor en ese punto: (eˣ)' = eˣ.
Derivada de las funciones trigonométricas
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Relación entre sin x (oro) y su derivada cos x (azul)
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🔄 sin → cos
①Cuando sin x está en su máximo, cos x = 0
②En tramos crecientes de sin, cos > 0
③En tramos decrecientes, cos < 0
④La derivada es la velocidad de cambio: tiene sentido
Fórmulas de derivadas trascendentes
Exponenciales
(eˣ)' = eˣ, (aˣ)' = aˣ ln a
eˣ es su propia derivada; aˣ se multiplica además por ln a
Trigonométricas
(sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x
sin → cos; cos → −sin
Logaritmos
(ln x)' = 1x, (loga x)' = 1x ln a
ln tiene derivada 1/x; loga se divide entre ln a
Otras trigonométricas
tan y sec
(tan x)' = sec²x, (sec x)' = sec x · tan x
derivadas de tan y sec
cot y csc
(cot x)' = −csc²x, (csc x)' = −csc x · cot x
ojo con los signos negativos en cot y csc
💡 Truco mnemotécnico
①sin → cos: positivo
②cos → −sin: negativo
③tan → sec²
④Las funciones que empiezan por co- (cos, cot, csc) llevan signo negativo al derivar
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Deriva y = ex sin x.
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Aplica la regla del producto (fg)′ = f′g + fg′ con f = ex, g = sin x.
(ex sin x)' = (ex)' sin x + ex (sin x)'
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Sustituye (ex)' = ex y (sin x)' = cos x.
ex sin x + ex cos x = ex(sin x + cos x)
▸ ex(sin x + cos x)
Como ex es su propia derivada, una expresión con factor ex solo necesita aplicar bien la regla del producto.
Ejemplo 2
Deriva y = ln(cos x).
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Regla de la cadena: deriva el ln u externo (u = cos x) y multiplica por la derivada interna.
y' = 1cos x · (cos x)'
2
Sustituye (cos x)′ = −sin x.
y' = -sin xcos x = -tan x
▸ -tan x
Para logaritmos, (ln u)′ = u′/u. Aquí la derivada de cos x, que es −sin x, pasa al numerador.