seegongsik
Mis palabras
3° Bachillerato (17-18 años)

Métodos de derivación

Differentiation Methods

Incluso una función que parece enredada tiene solo unas pocas herramientas para derivarla. Cuando una función está metida dentro de otra, la regla de la cadena deriva la parte externa y luego multiplica por la derivada de la parte interna; cuando la y está anudada y no se puede despejar, la derivación implícita deriva ambos lados tal como están; y cuando una curva se mueve a lo largo de un parámetro de tiempo t, entra la derivación paramétrica. Parecen distintas, pero por debajo comparten la misma idea de multiplicar y dividir pequeñas derivadas. Mueve el deslizador de x para ver por qué la pendiente de la tangente de sin(2x) se duplica, y aumenta el parámetro t para ver cómo la cicloide se traza a sí misma.

Función compuesta (regla de la cadena)
1.5
🔗 Analogía de la cadena
①sin(2x): externa sin, interna 2x
②Deriva la externa (cos) y multiplica por la derivada interna (2)
③Resultado: 2 cos(2x), de ahí que la amplitud parezca doble
Regla de la cadena
{f(g(x))}' = f'(g(x)) · g'(x)
derivada de la externa × derivada de la interna
Derivación implícita
Derivación implícita
x² + y² = r² → 2x + 2y·y' = 0 → y' = −xy
tratando y como función de x, deriva ambos lados
🔄 Idea clave
①Aunque no puedas despejar y = f(x), aún puedes derivar
②Cada y exige aplicar la cadena (dy/dx = y')
③Tras derivar, despeja y'
Derivación de paramétricas
4
Derivación paramétrica
x = f(t), y = g(t) → dydx = dy/dtdx/dt = g'(t)f'(t)
deriva cada uno respecto a t y divide
🎡 Cicloide
①Curva que traza un punto de una rueda que rueda
②x = t − sin t, y = 1 − cos t
③Pendiente de la tangente roja = sen t / (1 − cos t)
Derivación logarítmica
Derivación logarítmica
y = xx → ln y = x ln x → y'/y = ln x + 1 → y' = xx(ln x + 1)
tomas ln a ambos lados y derivas; lo complejo se simplifica
💡 Cuándo se usa
①Base y exponente con variable (xˣ)
②Productos y cocientes muy anidados
③Al tomar ln, productos → sumas y cocientes → restas
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Deriva y = (2x+1)5.
1
Toma la función externa como u5 y la interna como u = 2x+1, y aplica la regla de la cadena.
y = (2x+1)5, u = 2x+1
2
Multiplica la derivada externa 5u4 por la interna (2x+1)′ = 2.
y' = 5(2x+1)4 · 2 = 10(2x+1)4
y' = 10(2x+1)4
Regla de la cadena = derivada externa × derivada interna. No olvides multiplicar por la derivada interna.
Ejemplo 2
Halla la pendiente de la tangente a x2 + y2 = 25 en el punto (3, 4).
1
Deriva ambos lados respecto de x (derivación implícita).
2x + 2y·y' = 0 ⇒ y' = -xy
2
Sustituye el punto (3, 4).
y'|(3,4) = -34
-34
En la derivación implícita, multiplica por y′ cada vez que derivas y, y al final despeja y′.
Resumen
Tres métodos clave
cadena: f'·g' implícita: deriva y despeja y' paramétrica: g'(t)f'(t)
cadena, implícita y paramétrica son la base
tipo simulacro (variante)
Para la curva dada por x = t2 + 1, y = t3 − t, ¿cuánto vale dydx en t = 2?
94
52
114
3
134
114
1
Deriva x e y respecto de t y usa dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt).
dydx = 3t2 - 12t
2
Sustituye t = 2.
3(2)2 - 12(2) = 114
🎯 Puntos clave
①Cadena: externa × interna — la más frecuente
②Implícita: cada vez que aparece y, multiplica por y'
③Paramétrica: dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
④Logarítmica: para xˣ, toma ln y deriva
⑤Mixto: combina cadena e implícita con cuidado
← Anterior
Derivación de funciones
Siguiente →
Aplicaciones de la derivada
¿Te fue útil? Apoyar seegongsik