seegongsik

Métodos de derivación

Differentiation Methods

Por enredada que parezca una función, solo hay unos pocos caminos para derivarla. Si una función está dentro de otra, la regla de la cadena deriva la de fuera y multiplica por la derivada de la de dentro; si cuesta despejar y en función de x, la derivación implícita deriva los dos miembros de la ecuación tal como están; y si la posición de un punto depende de un parámetro t, la pendiente sale de dividir dy/dt entre dx/dt. En la primera figura, al mover x, la pendiente de la tangente roja a sin 2x coincide siempre con la altura de la curva azul 2cos 2x en el mismo x. En la segunda, una rueda gira sobre el suelo y traza una cicloide, y se puede comprobar que la tangente pasa siempre por el punto más alto de la rueda.

Derivada de la función compuesta (regla de la cadena)

1.5
🔗 De dónde sale el factor 2
①sin 2x es una función compuesta: la función exterior sin aplicada a la interior 2x
②Cuando x aumenta un poco, 2x aumenta el doble, y el valor del seno cambia cos 2x veces ese aumento. Por eso la derivada es cos 2x multiplicado por 2, es decir, 2cos 2x
③La curva dorada es sin x comprimida a la mitad de ancho, así que sube y baja el doble de rápido. Por ese 2 la curva azul llega hasta ±2
Regla de la cadena
{f(g(x))}' = f'(g(x)) · g'(x)
Derivada de la función exterior por la derivada de la interior

Derivación implícita

Derivación implícita de la circunferencia x² + y² = r²
x² + y² = r² → 2x + 2y·y' = 0 → y' = −xy
Se considera y como función de x y se derivan los dos miembros respecto de x. Por la regla de la cadena, y² da 2y · y′
🔄 Pasos de la derivación implícita
①No hace falta despejar antes y = f(x). Incluso una circunferencia, donde a un x le corresponden dos valores de y, tiene pendiente en cada punto
②Cada vez que se deriva un término con y, la regla de la cadena añade un factor y′
③Tras derivar los dos miembros se despeja y′. En la circunferencia y′ = −x/y; multiplicada por la pendiente del radio, y/x, da −1, lo que concuerda con que la tangente es perpendicular al radio

Derivada de curvas en forma paramétrica

4
Derivación paramétrica
x = f(t), y = g(t) → dydx = dy/dtdx/dt = g'(t)f'(t)
Se derivan x e y respecto de t y se divide dy/dt entre dx/dt. Solo vale donde dx/dt ≠ 0
🎡 La tangente a la cicloide
①Cuando una rueda de radio 1 ha girado un ángulo t, un punto de su borde está en x = t − sin t, y = 1 − cos t. La figura usa la misma escala en los dos ejes, así que el punto rojo está siempre sobre la rueda azul
②Como dx/dt = 1 − cos t y dy/dt = sin t, la pendiente de la tangente es sin t / (1 − cos t)
③Esa recta es la misma que une el punto rojo con el punto más alto de la rueda, (t, 2). Por eso, se mueva donde se mueva el deslizador, la tangente roja sigue pasando por el círculo blanco
④Donde 1 − cos t = 0, como en t = 2π, el punto toca el suelo en una cúspide, y cerca de ella el valor absoluto de la pendiente crece sin límite

Derivación logarítmica

Derivación logarítmica
y = xx → ln y = x ln x → y'/y = ln x + 1 → y' = xx(ln x + 1)
Para x > 0, al tomar el logaritmo natural en los dos miembros, la x del exponente baja como factor y la expresión se puede derivar. Al derivar ln y, a la izquierda, se obtiene y′/y por la regla de la cadena
💡 Cuándo usarla
①Cuando la variable está a la vez en la base y en el exponente, como en xˣ. Ni la regla de la potencia ni la de la exponencial sirven tal cual
②Cuando se multiplican y dividen muchos factores. Al tomar ln, los productos pasan a sumas y los cocientes a restas
③Después de derivar, se multiplican los dos miembros por y para dejar solo y′

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1
Deriva y = (2x+1)5.
1
Llamando u = 2x + 1 a la función interior, queda y = u5.
y = u5, u = 2x + 1
2
Se multiplica la derivada exterior 5u4 por la derivada interior (2x + 1)′ = 2.
y′ = 5(2x+1)4 · 2 = 10(2x+1)4
▸ y′ = 10(2x+1)4
Si se olvida la derivada interior 2, sale la respuesta errónea habitual 5(2x+1)4.
Ejemplo 2
Halla la pendiente de la tangente a la circunferencia x2 + y2 = 25 en el punto (3, 4).
1
Se derivan los dos miembros respecto de x. El término y2 da 2y · y′.
2x + 2y·y' = 0 ⇒ y' = -xy
2
Se sustituye el punto (3, 4).
y'|(3,4) = -34
▸ -34
El radio hasta (3, 4) tiene pendiente 4/3, y multiplicada por la pendiente de la tangente, −3/4, da −1. Que la tangente sea perpendicular al radio lleva a la misma respuesta.

Resumen

Tres métodos
cadena: f'·g' implícita: deriva y despeja y' paramétrica: g'(t)f'(t)
La regla de la cadena, la derivación implícita y la paramétrica se reducen a multiplicar y dividir cambios pequeños
Tipo de simulacro KICE, adaptado
Para la curva dada por x = t2 + 1, y = t3 − t, ¿cuánto vale dydx en t = 2?
①94
②52
③114
④3
⑤134
▸ ③ 114
1
Al derivar respecto de t, dx/dt = 2t y dy/dt = 3t2 − 1.
dydx = 3t2 - 12t
2
Para t = 2, el numerador vale 11 y el denominador 4.
3(2)2 - 12(2) = 114
🎯 Claves para el examen
①La regla de la cadena es la que más aparece, y el factor que más se olvida es la derivada de la función interior
②En la derivación implícita, cada término con y lleva un factor y′
③En las curvas paramétricas, dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt), y los puntos donde dx/dt = 0 se estudian aparte
④Para xˣ, se toma ln en los dos miembros y luego se deriva
⑤Son frecuentes los problemas que combinan la regla de la cadena con la derivación implícita
← Anterior
Derivadas de diversas funciones
Siguiente →
Aplicaciones de la derivada

Última actualización

¿Te fue útil? Apoyar seegongsik