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Aplicaciones de la derivada

Applications of Derivatives

La derivada muestra dónde sube una función, dónde baja y dónde cambia de sentido. Donde la pendiente se anula hay un candidato a cima, un máximo relativo, o a valle, un mínimo relativo, y el signo de la segunda derivada los distingue. Con la misma idea se resuelven problemas de optimización, en los que se busca el mayor o el menor valor posible de algo como un área o un coste. En el primer dibujo, al cambiar a se mueven el máximo y el mínimo; en el segundo, al cambiar la base se ve que un rectángulo de perímetro 20 tiene el área máxima cuando es el cuadrado de lado 5.

Crecimiento, decrecimiento y extremos

3
👀 Qué leer en el dibujo
①La curva dorada es f(x) y la azul discontinua, f'(x)
②f crece donde f'(x) > 0 y decrece donde f'(x) < 0
③Los puntos rojos están en x = ±√(a/3), donde f'(x) = 0
④Si a = 0, f' ≥ 0 en todas partes y no hay extremos

Cómo reconocer extremos

Criterio de la primera derivada
f'(c) = 0 y f' cambia de + a − → máx; de − a + → mín
Cómo cambia el signo de f' distingue máximos de mínimos
Criterio de la segunda derivada
f'(c) = 0; f''(c) > 0 → mínimo; f''(c) < 0 → máximo
El signo de f''(c) muestra hacia dónde se curva la gráfica y decide el extremo
🏔️ Cimas y valles
①Un máximo relativo es una cima, donde la curva es cóncava hacia abajo (f'' < 0)
②Un mínimo relativo es un valle, donde es cóncava hacia arriba (f'' > 0)
③Si f''(c) = 0 el criterio no decide, y hay que mirar el signo de f'

Optimización

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📐 Pasos de la optimización
①Se escribe la cantidad como función: la altura es 10 − x, así que A(x) = x(10 − x)
②Se deriva y se iguala a 0: A'(x) = 10 − 2x = 0 da x = 5
③Se comprueba: A''(5) = −2 < 0, así que es un máximo
④El máximo es A(5) = 25, y entonces el rectángulo es un cuadrado

Rectas tangentes y aproximación

Ecuación de la tangente
y − f(a) = f'(a)(x − a)
La tangente en x = a tiene pendiente f'(a) y pasa por (a, f(a))
Aproximación lineal
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x − a) (x ≈ a)
Cerca de a, la función se puede estimar con su recta tangente
💡 Estimar con una tangente
①Al estimar √4,01 con la tangente en √4 se obtiene 2 + (1/4) × 0,01 = 2,0025
②La tangente es la recta más parecida a la función cerca de ese punto
③Más adelante se llega a aproximaciones que usan también términos cuadráticos y cúbicos

Ejemplos para practicar

Ejemplo 1
Halla los extremos locales de f(x) = x3 − 3x.
1
Se buscan los puntos con f'(x) = 0 como candidatos a extremo.
f'(x) = 3x2 − 3 = 0 ⇒ x = ±1
2
Se usa el signo de la segunda derivada f''(x) = 6x.
f''(−1) < 0 ⇒ máximo local 2, f''(1) > 0 ⇒ mínimo local −2
▸ máximo local 2 (x = −1), mínimo local −2 (x = 1)
f''(−1) = −6 < 0 hace de x = −1 una cima, y f''(1) = 6 > 0 hace de x = 1 un valle. Con a = 3 en el primer dibujo se obtiene esta misma curva.
Ejemplo 2
Halla la recta tangente a y = x3 − 2x en el punto (1, −1).
1
Se halla la pendiente de la tangente, f'(1).
f'(x) = 3x2 − 2, f'(1) = 1
2
Se sustituye en y − f(a) = f'(a)(x − a).
y − (−1) = 1·(x − 1) ⇒ y = x − 2
▸ y = x − 2
Para la recta tangente basta con la pendiente f'(a) y el punto de tangencia (a, f(a)).

Resumen

Aplicaciones esenciales
f' = 0 → candidatos; f'' > 0 → mín; f'' < 0 → máx
Los candidatos salen de la derivada y se comprueban con la segunda derivada o con el cambio de signo
Problema tipo CSAT, adaptado
En 0 ≤ x ≤ 3, ¿cuál es el máximo de f(x) = x3 − 3x2 + 4?
①0
②2
③4
④6
⑤8
▸ ③ 4
1
Se buscan los puntos con f'(x) = 0.
f'(x) = 3x(x − 2) = 0 ⇒ x = 0, 2
2
Se comparan los valores de la función en los extremos del intervalo cerrado y en los candidatos.
f(0)=4, f(2)=0, f(3)=4 ⇒ máximo 4
🎯 Puntos clave
①Tabla de signos: se anota el signo de f' en cada intervalo
②Los extremos se deciden por el cambio de signo de f' o por el signo de f''
③Optimización: cantidad como función → derivar → ceros → comprobar
④La recta tangente es y − f(a) = f'(a)(x − a)
⑤Un punto de inflexión tiene f'' = 0 con cambio de signo de f''
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