Aplicaciones de la derivada

Applications of Derivatives

Las derivadas son una herramienta para detectar dónde una función sube, dónde baja y dónde da la vuelta. Donde la pendiente vale 0 hay un candidato a cima o a valle, y el signo de la segunda derivada los distingue. La misma idea impulsa la optimización: buscar el valor más grande o más pequeño de algo como un área o un coste. Mueve el coeficiente a para ver cómo se desplazan los extremos y cambia el ancho para ver cuándo el área es máxima.

Crecimiento y extremos

coeficiente a3

👀 Observación intuitiva

①En oro f(x); en azul punteado f'(x)

②Si f'(x) > 0, f crece

③Si f'(x) < 0, f decrece

④Si f'(x) = 0 (puntos rojos), candidato a extremo

Criterios de extremos

Criterio de la 1.ª derivada

f'(c) = 0 y f' cambia de + a − → máx; de − a + → mín

se decide por el cambio de signo de f'

Criterio de la 2.ª derivada

f'(c) = 0; f''(c) > 0 → mínimo; f''(c) < 0 → máximo

el signo de f'' (concavidad) decide

🏔️ Cima y valle

①Máximo = cima (cóncava hacia abajo: f'' < 0)

②Mínimo = valle (cóncava hacia arriba: f'' > 0)

③Punto de inflexión: cambia la concavidad (f'' = 0)

Optimización

ancho x3

📐 Pasos de optimización

①Función objetivo: A(x) = x(10 − x)

②Derivar: A'(x) = 10 − 2x = 0 → x = 5

③2.ª derivada: A''(5) = −2 < 0 → máximo

④Máximo: A(5) = 25

Tangente y aproximación

Recta tangente

y − f(a) = f'(a)(x − a)

tangente en x = a: pendiente f'(a) y pasa por (a, f(a))

Aproximación lineal

f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x − a) (x ≈ a)

cerca de a la tangente aproxima a la función

💡 La potencia de aproximar

①√(4,01) ≈ √4 + (1/(2√4))(0,01) = 2,0025

②La tangente es la mejor recta local

③Se generaliza con la serie de Taylor

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Halla los extremos locales de f(x) = x³ − 3x.

Halla dónde f′(x) = 0 (los candidatos a extremos).

f'(x) = 3x² − 3 = 0 ⇒ x = ±1

Clasifica con el signo de la segunda derivada f″(x) = 6x.

f''(−1) < 0 ⇒ máximo local 2, f''(1) > 0 ⇒ mínimo local −2

▸ máximo local 2 (x = −1), mínimo local −2 (x = 1)

Usa f′ = 0 para los candidatos y el signo de f″ para clasificar máximo (−) y mínimo (+).

Ejemplo 2

Halla la recta tangente a y = x³ − 2x en el punto (1, −1).

Calcula la pendiente f′(1).

f'(x) = 3x² − 2, f'(1) = 1

Sustituye en y − f(a) = f'(a)(x − a).

y − (−1) = 1·(x − 1) ⇒ y = x − 2

▸ y = x − 2

Una tangente solo necesita la pendiente f′(a) y el punto (a, f(a)); usa la forma punto-pendiente.

Resumen

Aplicaciones esenciales

f' = 0 → candidatos; f'' > 0 → mín; f'' < 0 → máx

1.ª derivada da candidatos; 2.ª clasifica

tipo examen (variante)

En 0 ≤ x ≤ 3, ¿cuál es el máximo de f(x) = x³ − 3x² + 4?

①0

②2

③4

④6

⑤8

▸ ③ 4

Halla los puntos críticos donde f′(x) = 0.

f'(x) = 3x(x − 2) = 0 ⇒ x = 0, 2

Compara los valores en los extremos del intervalo cerrado y en los puntos críticos.

f(0)=4, f(2)=0, f(3)=4 ⇒ máximo 4

🎯 Puntos clave

①Tabla de variación con f'

②Elige criterio de 1.ª o 2.ª

③Optimización: objetivo → derivar → puntos críticos → clasificar

④Tangente: y − f(a) = f'(a)(x − a)

⑤Inflexión: f'' = 0 con cambio de signo

← Anterior

Reglas de derivación

Segunda derivada y punto de inflexión

¿Te fue útil? Apoyar seegongsik