Segunda derivada y punto de inflexión

Second Derivative & Inflection

La primera derivada te dice dónde crece y decrece una función, pero hacia qué lado se curva la propia gráfica es tarea de la segunda derivada f″. Donde f″ es positiva la gráfica es cóncava hacia arriba, como una taza (∪), y donde es negativa es cóncava hacia abajo, como una tapa (∩). El punto exacto en que ese sentido de curvatura se da la vuelta es el punto de inflexión, así que uno de verdad necesita f″=0 y un cambio real de signo de un lado a otro. Mueve el punto despacio a lo largo de la curva y busca el punto de inflexión, donde el signo de f″ cambia y el color y el sentido de la curvatura se invierten a la vez.

Leer la dirección de la curvatura

Posición del punto x1

👀 Velo

①Si f″>0 la curva es cóncava hacia arriba (∪)

②Si f″<0 es cóncava hacia abajo (∩)

③El punto donde cambia la concavidad es el de inflexión

④Al mover el punto, el lugar donde cambia el color es el de inflexión

Definir la concavidad

Criterio de concavidad

f″(x) > 0 ⇒ cóncava arriba, f″(x) < 0 ⇒ cóncava abajo

El signo de la segunda derivada decide hacia dónde se curva la gráfica

Condición de punto de inflexión

f″(a)=0 y f″ cambia de signo en x=a ⇒ (a, f(a)) es punto de inflexión

f″=0 es solo necesario — hay que confirmar también el cambio de signo

🪞 El signo de f″ fija la forma

①Donde f″(x)>0 la gráfica es cóncava hacia arriba

②Donde f″(x)<0 es cóncava hacia abajo

③Un punto de inflexión es donde f″=0 Y cambia el signo — f″=0 por sí solo no basta

Criterio de la segunda derivada para extremos

Criterio de la segunda derivada

f'(a)=0, f″(a)>0 ⇒ mínimo / f″(a)<0 ⇒ máximo

En un punto crítico, el signo de f″ distingue rápido máximo de mínimo

Calcúlalo directamente

Ejemplo 1

Halla el punto de inflexión de f(x)=x³−3x²+1.

Halla la segunda derivada.

f'(x)=3x²−6x, f″(x)=6x−6

Resuelve f″(x)=0, confirma el cambio de signo y halla la coordenada y.

f″(x)=0 ⇒ x=1, f(1)=1−3+1=−1

▸ (1, −1)

En torno a x=1, f″ cambia de − a +, así que sí es punto de inflexión.

Ejemplo 2

Usa el criterio de la segunda derivada para hallar los extremos de f(x)=x³−3x.

De f'(x)=3x²−3=0 se obtiene x=±1, y f″(x)=6x.

f″(1)=6>0 da un mínimo; f″(−1)=−6<0 da un máximo.

mínimo f(1)=−2, máximo f(−1)=2

▸ máximo 2, mínimo −2

Sin tabla de signos de f′, un solo signo de f″ separa máximo de mínimo.

Resumen

Resultado clave

f″>0 cóncava arriba, f″<0 cóncava abajo, punto de cambio de signo = inflexión

Dibuja la gráfica leyendo juntos f′ (monotonía) y f″ (concavidad·inflexión)

Tipo de simulacro KICE 2021 Mat. (Cálculo), adaptado

¿Cuál es el punto de inflexión de f(x)=x³−6x²+9x+1?

①(1, 5)

②(2, 3)

③(2, 5)

④(3, 1)

⑤Sin punto de inflexión

▸ ② (2, 3)

f'(x)=3x²−12x+9, f″(x)=6x−12.

f″(x)=0 ⇒ x=2, f(2)=8−24+18+1=3.

punto de inflexión (2, 3)

🎯 Puntos de examen

①f″>0 cóncava arriba, f″<0 cóncava abajo

②La inflexión necesita f″=0 Y cambio de signo (ambos)

③Para extremos, pon f'=0 y juzga por el signo de f″

④Esboza con una tabla de signos de f′ y f″

⑤Halla siempre también la coordenada y del punto de inflexión

← Anterior

Aplicaciones de la derivada

Ecuaciones e inecuaciones

¿Te fue útil? Apoyar seegongsik