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Segunda derivada y punto de inflexión

Second Derivative & Inflection

La derivada dice dónde crece y dónde decrece una función, pero hacia dónde se curva lo dice el signo de la segunda derivada f″. Donde f″ es positiva la gráfica es cóncava hacia arriba, como un cuenco (∪); donde es negativa, cóncava hacia abajo, como una tapa (∩). Un punto donde se invierte la curvatura es un punto de inflexión, y necesita a la vez f″ = 0 y un cambio de signo de f″ a cada lado. En el dibujo, al mover el punto por la curva, el color y la curvatura cambian juntos al pasar por x = 0.

Leer hacia dónde se curva

1
👀 Qué leer en el dibujo
①Si f″ > 0 la curva es cóncava hacia arriba (∪) y la tangente queda por debajo
②Si f″ < 0 es cóncava hacia abajo (∩) y la tangente queda por encima
③Para y = x³ − 3x, f″(x) = 6x, así que la curvatura cambia en x = 0
④Por eso el origen es un punto de inflexión

Cómo decidir la concavidad

Criterio de concavidad
f″(x) > 0 ⇒ cóncava arriba, f″(x) < 0 ⇒ cóncava abajo
El signo de la segunda derivada fija hacia dónde se curva la gráfica
Condición de punto de inflexión
f″(a)=0 y f″ cambia de signo en x=a ⇒ (a, f(a)) es punto de inflexión
f″ = 0 es solo una condición necesaria; también hay que comprobar el cambio de signo
🪞 El signo de f″ fija la forma
①Donde f″(x) > 0 la gráfica es cóncava hacia arriba
②Donde f″(x) < 0 la gráfica es cóncava hacia abajo
③Un punto de inflexión tiene f″ = 0 y cambio de signo; f″ = 0 solo no basta
④Por ejemplo, y = x⁴ tiene f″ = 0 en x = 0, pero es cóncava hacia arriba a ambos lados, así que ahí no hay inflexión

Extremos con la segunda derivada

Criterio de la segunda derivada
f'(a)=0, f″(a)>0 ⇒ mínimo / f″(a)<0 ⇒ máximo
En un punto donde la derivada se anula, el signo de f″ distingue enseguida el máximo del mínimo

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1
Halla el punto de inflexión de f(x)=x³−3x²+1.
1
Se halla la segunda derivada.
f'(x)=3x²−6x, f″(x)=6x−6
2
Se resuelve f″(x) = 0, se comprueba el cambio de signo y se calcula la ordenada.
f″(x)=0 ⇒ x=1, f(1)=1−3+1=−1
▸ (1, −1)
El signo de f″ pasa de − a + al cruzar x = 1, así que sí es un punto de inflexión.
Ejemplo 2
Usa el criterio de la segunda derivada para hallar los extremos de f(x)=x³−3x.
1
f'(x) = 3x² − 3 = 0 da x = ±1, y f″(x) = 6x.
2
f″(1) = 6 > 0, así que es un mínimo; f″(−1) = −6 < 0, así que es un máximo.
mínimo f(1)=−2, máximo f(−1)=2
▸ máximo 2, mínimo −2
Sin hacer tabla de signos, el signo de f″ basta para separar el máximo del mínimo. La curva del dibujo es justo esta función.

Resumen

Ideas clave
f″>0 cóncava arriba, f″<0 cóncava abajo, punto de cambio de signo = inflexión
Para esbozar una gráfica se leen juntos f′ (crecimiento) y f″ (concavidad e inflexión)
Tipo de simulacro KICE 2021 Mat. (Cálculo), adaptado
¿Cuál es el punto de inflexión de f(x)=x³−6x²+9x+1?
①(1, 5)
②(2, 3)
③(2, 5)
④(3, 1)
⑤Sin punto de inflexión
▸ ② (2, 3)
1
f'(x) = 3x² − 12x + 9 y f″(x) = 6x − 12.
2
f″(x) = 0 da x = 2, y f(2) = 8 − 24 + 18 + 1 = 3.
punto de inflexión (2, 3)
🎯 Puntos de examen
①f″ > 0 significa cóncava hacia arriba; f″ < 0, hacia abajo
②Un punto de inflexión necesita f″ = 0 y cambio de signo a la vez
③Los extremos se deciden en los puntos con f′ = 0 por el signo de f″
④La forma de la gráfica sale de las tablas de signos de f′ y f″
⑤Un punto de inflexión se da como coordenadas, con su ordenada
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