Segunda derivada y punto de inflexión

Second Derivative & Inflection

Leer la dirección de la curvatura

Posición del punto x1

👀 Velo

①Si f″>0 la curva es cóncava hacia arriba (∪)

②Si f″<0 es cóncava hacia abajo (∩)

③El punto donde cambia la concavidad es el de inflexión

④Al mover el punto, el lugar donde cambia el color es el de inflexión

Definir la concavidad

Criterio de concavidad

f″(x) > 0 ⇒ cóncava arriba, f″(x) < 0 ⇒ cóncava abajo

El signo de la segunda derivada decide hacia dónde se curva la gráfica

Condición de punto de inflexión

f″(a)=0 y f″ cambia de signo en x=a ⇒ (a, f(a)) es punto de inflexión

f″=0 es solo necesario — hay que confirmar también el cambio de signo

🪞 El signo de f″ fija la forma

①Donde f″(x)>0 la gráfica es cóncava hacia arriba

②Donde f″(x)<0 es cóncava hacia abajo

③Un punto de inflexión es donde f″=0 Y cambia el signo — f″=0 por sí solo no basta

Criterio de la segunda derivada para extremos

Criterio de la segunda derivada

f'(a)=0, f″(a)>0 ⇒ mínimo / f″(a)<0 ⇒ máximo

En un punto crítico, el signo de f″ distingue rápido máximo de mínimo

Calcúlalo directamente

Ejemplo 1

Halla el punto de inflexión de f(x)=x³−3x²+1.

Halla la segunda derivada.

f'(x)=3x²−6x, f″(x)=6x−6

Resuelve f″(x)=0, confirma el cambio de signo y halla la coordenada y.

f″(x)=0 ⇒ x=1, f(1)=1−3+1=−1

▸ (1, −1)

En torno a x=1, f″ cambia de − a +, así que sí es punto de inflexión.

Ejemplo 2

Usa el criterio de la segunda derivada para hallar los extremos de f(x)=x³−3x.

De f'(x)=3x²−3=0 se obtiene x=±1, y f″(x)=6x.

f″(1)=6>0 da un mínimo; f″(−1)=−6<0 da un máximo.

mínimo f(1)=−2, máximo f(−1)=2

▸ máximo 2, mínimo −2

Sin tabla de signos de f′, un solo signo de f″ separa máximo de mínimo.

Resumen

Resultado clave

f″>0 cóncava arriba, f″<0 cóncava abajo, punto de cambio de signo = inflexión

Dibuja la gráfica leyendo juntos f′ (monotonía) y f″ (concavidad·inflexión)

Tipo de simulacro KICE 2021 Mat. (Cálculo), adaptado

¿Cuál es el punto de inflexión de f(x)=x³−6x²+9x+1?

①(1, 5)

②(2, 3)

③(2, 5)

④(3, 1)

⑤Sin punto de inflexión

▸ ② (2, 3)

f'(x)=3x²−12x+9, f″(x)=6x−12.

f″(x)=0 ⇒ x=2, f(2)=8−24+18+1=3.

punto de inflexión (2, 3)

🎯 Puntos de examen

①f″>0 cóncava arriba, f″<0 cóncava abajo

②La inflexión necesita f″=0 Y cambio de signo (ambos)

③Para extremos, pon f'=0 y juzga por el signo de f″

④Esboza con una tabla de signos de f′ y f″

⑤Halla siempre también la coordenada y del punto de inflexión

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