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Aplicaciones de la serie geométrica

Applications of Geometric Series

Este tema muestra dónde se usa de verdad la fórmula de la suma de una serie geométrica infinita. Un decimal periódico como 0,777… y el área total de figuras que se encogen al unir puntos medios se calculan con a/(1 − r) en cuanto se encuentran el primer término y la razón. Si se sombrea la mitad de un cuadrado, luego la mitad de lo que queda, y así sin fin, las áreas sombreadas suman 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1. En la figura, al sombrear más piezas, el área que queda, 1/2ᵏ, se reduce y Sₖ se acerca a 1.

Decimales periódicos como fracciones

🔁 Un decimal periódico es una serie geométrica infinita
①0,777… se puede descomponer en 7/10 + 7/100 + 7/1000 + …
②Es una serie geométrica infinita de primer término 7/10 y razón 1/10
③Como |1/10| < 1, converge, y su suma es la fracción que representa el decimal
④Con el mismo método, 0,999… = (9/10)/(1 − 1/10) = 1
Ejemplo 1
Escribe el decimal periódico 0,777… como fracción irreducible.
1
Se ve como una serie geométrica infinita de primer término 7/10 y razón 1/10.
2
Se sustituye en la fórmula de la suma S = a/(1 − r).
S = 7/101 - 1/10 = 7/109/10
▸ 7/9
Si el periodo tiene una cifra, la razón es 1/10 y aparece un 9 en el denominador; si tiene dos, la razón es 1/100 y aparece 99.

De decimal periódico a fracción

Decimal periódico como fracción
0,aaa… = a/9 , 0,ababab… = (ab)/99
(ab) es el número de dos cifras, no un producto. Se ponen en el denominador tantos 9 como cifras tiene el periodo; por ejemplo, 0,363636… = 36/99 = 4/11

Una suma infinita que se ve

3
La serie de las mitades
12 + 14 + 18 + ⋯ = 1/21 - 1/2 = 1
Primer término 1/2 y razón 1/2, así que la suma es exactamente 1
🟧 La mitad de la mitad de la mitad
①Al sombrear la mitad de un cuadrado de área 1 se obtiene 1/2
②Sombrear la mitad de lo que queda añade 1/4 y deja 1/4 sin sombrear
③Tras k piezas, el área que queda es siempre 1/2ᵏ, así que el total sombreado es Sₖ = 1 − 1/2ᵏ
④Cuando k crece sin límite, el área que queda tiende a 0, así que la suma converge al cuadrado entero, es decir, a 1

Área total de figuras semejantes

Ejemplo 2
Se unen los puntos medios de los lados de un cuadrado de lado 2 para formar un cuadrado nuevo, y se repite sin fin. Halla la suma de las áreas de todos los cuadrados.
1
El cuadrado de los puntos medios tiene un lado 1/√2 veces el anterior, así que su área es la mitad. La razón es 1/2.
2
El primer cuadrado tiene área 4, así que S = 4/(1 − 1/2).
S = 41/2 = 8
▸ 8
Si la razón de semejanza es k, la razón de las áreas es k². Cuando se pide un área total, la razón de la serie es la razón de las áreas.

Resumen

La clave de las aplicaciones
|r|<1 ⇒ S = a1 - r
En decimales periódicos, áreas de figuras o sumas de longitudes, se buscan el primer término a y la razón r y se sustituyen
Tipo de simulacro provincial 2021 Mat., adaptado
Se unen los puntos medios de los lados del cuadrado S₁, de lado 6, para formar el cuadrado S₂, y se repite sin fin. ¿Cuál es la suma de las áreas de todos los cuadrados?
①48
②60
③72
④96
⑤Diverge
▸ ③ 72
1
El cuadrado de los puntos medios tiene la mitad de área que el anterior (razón 1/2).
2
S₁ tiene área 36, así que S = 36/(1 − 1/2).
S = 361/2 = 72
🎯 Claves para el examen
①Un decimal periódico es una serie geométrica infinita de razón 1/10 o 1/100
②El número de cifras del periodo es el número de 9 del denominador
③En problemas de figuras, una razón de semejanza k da una razón de áreas k² y de longitudes k
④El primer término se toma con exactitud de la primera figura
⑤Se comprueba |r| < 1 y luego se sustituye en S = a/(1 − r)
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