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3° Bachillerato (17-18 años)

Aplicaciones de la serie geométrica

Applications of Geometric Series

Qué es en realidad un decimal periódico
🔁 Un decimal periódico es una serie geométrica infinita
①0,777… es 7/10 + 7/100 + 7/1000 + …
②Primer término 7/10, razón 1/10, una serie geométrica infinita
③Como |1/10|<1 converge, y su suma es la forma fraccionaria
Ejemplo 1
Expresa el decimal periódico 0,777… como fracción irreducible.
1
Velo como una serie geométrica infinita con primer término 7/10 y razón 1/10.
2
Aplica la fórmula de la suma S = a/(1−r).
S = 7/101 - 1/10 = 7/109/10
▸ 7/9
Un dígito periódico da denominador 9, dos dan 99 — sale de forma natural de la serie geométrica.
Decimal periódico → fórmula de fracción
Conversión de un decimal periódico
0.aaa… = a/9 , 0.ababab… = (ab)/99
Pon en el denominador tantos 9 como la longitud del bloque periódico (un dígito 9, dos dígitos 99)
Una suma infinita, vista geométricamente
3
Serie de mitades
12 + 14 + 18 + ⋯ = 1/21 - 1/2 = 1
Primer término 1/2, razón 1/2 — la suma es exactamente 1
🟧 La mitad de la mitad de la mitad…
①Sombrear la mitad del cuadrado da 1/2
②Sombrear la mitad de lo que queda añade 1/4
③Repitiendo para siempre, el área sombreada suma el cuadrado entero, es decir 1
Suma de áreas de figuras semejantes
Ejemplo 2
Un cuadrado de lado 2 genera un nuevo cuadrado uniendo los puntos medios de sus lados, repetido para siempre. Halla la suma de las áreas de todos los cuadrados.
1
El cuadrado de los puntos medios tiene la mitad del área del anterior (razón 1/2).
2
El primer cuadrado tiene área 4, así que S = 4/(1−1/2).
S = 41/2 = 8
▸ 8
Si la razón de semejanza es k, la de áreas es k² — tomar la razón de áreas como razón común es la clave.
Resumen
Esencial de las aplicaciones
|r|<1 ⇒ S = a1 - r
Decimales periódicos, áreas y longitudes de figuras se reducen a hallar el primer término a y la razón r
Tipo de simulacro provincial 2021 Mat., adaptado
Un cuadrado S₁ de lado 6 genera un cuadrado S₂ uniendo los puntos medios de sus lados, repetido para siempre. ¿Cuál es la suma de las áreas de todos los cuadrados?
①48
②60
③72
④96
⑤Diverge
▸ ③ 72
1
El cuadrado de los puntos medios tiene la mitad del área del anterior (razón 1/2).
2
Como S₁ tiene área 36, S = 36/(1−1/2).
S = 361/2 = 72
🎯 Puntos de examen
①Los decimales periódicos son series geométricas de razón 1/10 o 1/100
②Longitud del bloque periódico = número de 9 en el denominador
③En figuras, obtén la razón por semejanza: razón de áreas k², de longitudes k
④Fija el primer término como el “valor inicial” de la figura
⑤Comprueba siempre |r|<1 y usa S=a/(1−r)
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