Una serie es lo que obtienes al sumar los términos de una sucesión uno tras otro, empezando por el primero.
Que ese total acumulado se asiente en algún valor o siga creciendo sin fin depende de lo deprisa que encojan los términos.
En una serie geométrica la suma se reúne en un único valor solo cuando la razón tiene tamaño menor que 1, y en caso contrario diverge.
Mueve la razón r y el número de términos n para ver si las barras de la suma parcial se acercan a un límite o se disparan sin cota.
¿Qué pasa al sumar infinitos términos?
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Sumas parciales Sₙ de una serie geométrica acercándose al límite
8
0.5
👀 Observación intuitiva
Las barras doradas son las sumas parciales Sₙ. Si |r| < 1 se acercan a la línea roja (converge); si |r| ≥ 1 crecen sin parar (diverge).
Tamaño de los términos
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Cada término rᵏ representado por un área
📦 Analogía con áreas
①Cada cuadrado es un término rᵏ
②Con |r| < 1, los cuadrados se encogen rápido y el área total es finita
③Con |r| ≥ 1 no se encogen y el área total se va al infinito
Fórmula de la serie geométrica
Suma parcial
Sn = a(1 − rn)1 − r (r ≠ 1)
suma de los n primeros términos con primer término a y razón r
Serie geométrica infinita
a1 − r (|r| < 1)
cuando n → ∞ y |r| < 1, rⁿ → 0 y la suma tiende a a/(1−r)
💡 Idea clave
①Sₙ = a(1−rⁿ)/(1−r); rⁿ → 0
②Por eso S = a/(1−r)
③¡Solo vale si |r| < 1!
Criterios de convergencia
Criterio del término general
limn→∞ an ≠ 0 ⇒ Σ an diverge
si el término general no tiende a 0, la serie no puede converger
Comparación
0 ≤ an ≤ bn, Σ bn converge ⇒ Σ an converge
si la mayor converge, la menor también
⚖️ Intuición
①Si el término general no se hace 0, la suma sigue creciendo → diverge
②Comparación: si la mayor pasa, la menor pasa
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Calcula la suma de la serie geométrica infinita Σn=1∞ (2/3)n.
1
Identifica el primer término a y la razón r.
a = 23, r = 23 (|r| < 1)
2
Como |r| < 1, aplica S = a/(1−r).
S = 2/31 - 2/3 = 2/31/3 = 2
▸ 2
En una serie geométrica, fija el primer término y la razón y sustitúyelos en la fórmula de la suma.
Ejemplo 2
Determina si Σn=1∞n2n+1 converge o diverge.
1
Antes de sumar, examina el límite del término general.
limn→∞n2n+1 = 12
2
El término no tiende a 0, así que por el criterio del término general la serie diverge.
lim an = 12 ≠ 0 ⇒ diverge
▸ Diverge
Comprueba siempre primero si el término general tiende a 0. Si no, la serie diverge de inmediato.
Resumen
Convergencia de la serie geométrica
Σk=0∞ a rk = a1 − r (|r| < 1)
con primer término a y razón r, converge solo si |r| < 1
tipo examen (variante)
Una serie geométrica con primer término a y razón r cumple Σn=1∞ arn-1 = 9 y Σn=1∞ a2 r2(n-1) = 812. Halla a.
①4
②5
③6
④7
⑤8
▸ ③ 6
1
Escribe cada suma (la segunda serie tiene razón r2).
a1-r = 9, a21-r2 = 812
2
Sustituye a = 9(1−r) y simplifica para hallar r y a.
1-r1+r = 12 ⇒ r = 13, a = 6
🎯 Puntos clave
①Geométrica: converge si |r| < 1; diverge si |r| ≥ 1
②Memoriza a/(1−r)
③Si lim aₙ ≠ 0, diverge
④La convergencia se define con el límite de Sₙ
⑤Comparación: si la mayor converge, la menor también