Series

Una serie es lo que se obtiene al sumar uno tras otro los términos de una sucesión, empezando por el primero. Que el total acumulado se asiente en un valor o crezca sin fin depende de lo rápido que se hagan pequeños los términos. Una serie geométrica suma un único valor solo cuando su razón es menor que 1 en valor absoluto; si no, diverge. Al mover la razón r y el número de términos n se ve si las barras de las sumas parciales se acercan a la línea discontinua 1/(1 − r) o siguen creciendo.

Sumar sin fin

Términos sumados, n8

razón r0.5

👀 Qué leer en la figura

①En la serie geométrica de primer término 1, la barra n-ésima es Sₙ, la suma de los n primeros términos

②Si |r| < 1, las barras se acercan a la línea discontinua roja 1/(1 − r); con r = 0,5 ese valor es 2

③Si r es negativa, las barras se acercan saltando por encima y por debajo de la línea; si r ≥ 1, crecen sin límite y la serie diverge

Juzgar por el tamaño de los términos

📦 La convergencia en cuadrados

①Cada cuadrado es un término de la serie, y su lado es proporcional al tamaño de ese término, |r|ᵏ

②Si |r| < 1, los cuadrados se encogen siempre en la misma proporción, así que incluso todos juntos suman una cantidad finita

③Si |r| = 1 el tamaño no cambia, y si |r| > 1 va creciendo, así que la suma crece sin límite

La fórmula de la suma de una serie geométrica

Suma parcial

S_n = a(1 − rⁿ)1 − r (r ≠ 1)

Suma de los n primeros términos de una serie geométrica de primer término a y razón r

Suma de una serie geométrica infinita

a1 − r (|r| < 1)

Cuando n → ∞, rⁿ → 0, así que las sumas parciales convergen a a/(1 − r)

💡 De dónde sale la fórmula

①En Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r), si |r| < 1, entonces, cuando n → ∞, rⁿ → 0

②Así, S = a/(1 − r)

③Como rⁿ no tiende a 0 cuando |r| ≥ 1, ahí la fórmula no se puede usar

Criterios de convergencia

Criterio del término general

lim_n→∞ a_n ≠ 0 ⇒ Σ a_n diverge

Si el término general no tiende a 0, la serie diverge con seguridad. Lo contrario no vale: que los términos tiendan a 0 no garantiza que la serie converja

Criterio de comparación

0 ≤ a_n ≤ b_n, Σ b_n converge ⇒ Σ a_n converge

Si converge una serie de términos mayores, también converge la de términos menores. Dicho al revés, si la menor diverge, la mayor también

⚖️ Qué tener en cuenta

①Si los términos no tienden a 0, en cada suma se acumula al menos una cantidad fija, así que el total crece sin límite

②Hay series, como la de término 1/n, que divergen aunque sus términos tiendan a 0, así que eso solo no basta para converger

③Una serie de términos no negativos no puede superar la suma de otra con términos mayores uno a uno, así que si la mayor converge, la menor también

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Calcula la suma de la serie geométrica infinita Σ_n=1^∞ (2/3)ⁿ.

Se identifican el primer término a y la razón r.

a = 23, r = 23 (|r| < 1)

Como |r| < 1, se sustituye en la fórmula de la suma S = a/(1 − r).

S = 2/31 - 2/3 = 2/31/3 = 2

▸ 2

Con el primer término y la razón bien identificados, una serie geométrica va directa a la fórmula de la suma. Como Σ empieza en n = 1, el primer término es (2/3)¹.

Ejemplo 2

Determina si Σ_n=1^∞ n2n+1 converge o diverge.

Antes de buscar una suma, se estudia el límite del término general.

lim_n→∞ n2n+1 = 12

El límite del término general no es 0, así que la serie diverge.

lim a_n = 12 ≠ 0 ⇒ diverge

▸ Diverge

Antes de calcular una suma, se comprueba si los términos tienden a 0. Si no, la serie diverge sin más.

Resumen

Cuándo converge una serie geométrica

Σ_k=0^∞ a r^k = a1 − r (|r| < 1)

Una serie geométrica de primer término a y razón r converge a a/(1 − r) cuando |r| < 1

Problema tipo CSAT, adaptado

Una serie geométrica con primer término a y razón r cumple Σ_n=1^∞ ar^n-1 = 9 y Σ_n=1^∞ a² r^2(n-1) = 812. Halla a.

①4

②5

③6

④7

⑤8

▸ ③ 6

Se escriben las dos sumas como ecuaciones. La segunda serie es geométrica de primer término a² y razón r².

a1-r = 9, a²1-r² = 812

Al dividir la segunda ecuación entre el cuadrado de la primera se obtiene (1 − r)/(1 + r) = 1/2, lo que fija r y después a.

1-r1+r = 12 ⇒ r = 13, a = 6

🎯 Claves para el examen

①Una serie geométrica (a ≠ 0) converge si |r| < 1 y diverge si |r| ≥ 1

②La suma de una serie geométrica infinita es a/(1 − r)

③Si lim aₙ ≠ 0, la serie diverge

④La convergencia de una serie se define con el límite de sus sumas parciales Sₙ

⑤Hay series que divergen aunque sus términos tiendan a 0

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Límite de una sucesión geométrica

Serie geométrica infinita

Última actualización 2026-10-17

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