Series

Una serie es lo que obtienes al sumar los términos de una sucesión uno tras otro, empezando por el primero. Que ese total acumulado se asiente en algún valor o siga creciendo sin fin depende de lo deprisa que encojan los términos. En una serie geométrica la suma se reúne en un único valor solo cuando la razón tiene tamaño menor que 1, y en caso contrario diverge. Mueve la razón r y el número de términos n y las barras de la suma parcial se acercan a un límite o se disparan sin cota.

¿Qué pasa al sumar infinitos términos?

términos en la suma parcial8

razón r0.5

👀 Observación intuitiva

Las barras doradas son las sumas parciales Sₙ. Si |r| < 1 se acercan a la línea roja (converge); si |r| ≥ 1 crecen sin parar (diverge).

Tamaño de los términos

📦 Analogía con áreas

①Cada cuadrado es un término rᵏ

②Con |r| < 1, los cuadrados se encogen rápido y el área total es finita

③Con |r| ≥ 1 no se encogen y el área total se va al infinito

④El control r está en el paso 1

Fórmula de la serie geométrica

Suma parcial

S_n = a(1 − rⁿ)1 − r (r ≠ 1)

suma de los n primeros términos con primer término a y razón r

Serie geométrica infinita

a1 − r (|r| < 1)

cuando n → ∞ y |r| < 1, rⁿ → 0 y la suma tiende a a/(1−r)

💡 Idea clave

①Sₙ = a(1−rⁿ)/(1−r); rⁿ → 0

②Por eso S = a/(1−r)

③¡Solo vale si |r| < 1!

Criterios de convergencia

Criterio del término general

lim_n→∞ a_n ≠ 0 ⇒ Σ a_n diverge

si el término general no tiende a 0, la serie no puede converger

Comparación

0 ≤ a_n ≤ b_n, Σ b_n converge ⇒ Σ a_n converge

si la mayor converge, la menor también. Contrarrecíproco: si la menor diverge, la mayor también

⚖️ Intuición

①Si el término general no se hace 0, la suma sigue creciendo → diverge

②Comparación: si la mayor pasa, la menor pasa

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Calcula la suma de la serie geométrica infinita Σ_n=1^∞ (2/3)ⁿ.

Identifica el primer término a y la razón r.

a = 23, r = 23 (|r| < 1)

Como |r| < 1, aplica S = a/(1−r).

S = 2/31 - 2/3 = 2/31/3 = 2

▸ 2

En una serie geométrica, fija el primer término y la razón y sustitúyelos en la fórmula de la suma.

Ejemplo 2

Determina si Σ_n=1^∞ n2n+1 converge o diverge.

Antes de sumar, examina el límite del término general.

lim_n→∞ n2n+1 = 12

El término no tiende a 0, así que por el criterio del término general la serie diverge.

lim a_n = 12 ≠ 0 ⇒ diverge

▸ Diverge

Comprueba siempre primero si el término general tiende a 0. Si no, la serie diverge de inmediato.

Resumen

Convergencia de la serie geométrica

Σ_k=0^∞ a r^k = a1 − r (|r| < 1)

con primer término a y razón r, converge solo si |r| < 1

tipo de examen

Una serie geométrica con primer término a y razón r cumple Σ_n=1^∞ ar^n-1 = 9 y Σ_n=1^∞ a² r^2(n-1) = 812. Halla a.

①4

②5

③6

④7

⑤8

▸ ③ 6

Escribe cada suma (la segunda serie tiene razón r²).

a1-r = 9, a²1-r² = 812

Sustituye a = 9(1−r) y simplifica para hallar r y a.

1-r1+r = 12 ⇒ r = 13, a = 6

🎯 Puntos clave

①Geométrica: converge si |r| < 1; diverge si |r| ≥ 1

②Memoriza a/(1−r)

③Si lim aₙ ≠ 0, diverge

④La convergencia se define con el límite de Sₙ

⑤Comparación: si la mayor converge, la menor también

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Límite de una sucesión geométrica

Serie geométrica infinita

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