Límite de una sucesión geométrica

Limit of a Geometric Sequence

Una sucesión geométrica se construye multiplicando una y otra vez por el mismo número r. Si esa razón es menor que 1 en tamaño, cada término encoge y acaba desapareciendo en 0; si es mayor que 1, los términos se hacen bola de nieve y estallan. Así, todo el destino de rⁿ lo decide una sola cosa, el tamaño de la razón r, y las fronteras se sitúan justo en r = 1 y r = -1. Mueve la razón r y los puntos se pliegan hacia 0, estallan hacia arriba, o rebotan entre 1 y -1 en una oscilación divergente.

El destino de rⁿ lo fija r

Razón r0.7

👀 Velo

①Si |r|<1, cada producto encoge hacia 0

②Si r=1, se queda en 1

③Si r=−1, oscila entre 1 y −1 (diverge)

④Si |r|>1, estalla y diverge

⑤(base menor/mayor)ⁿ → 0. Ejemplo: 2ⁿ/3ⁿ → 0. El dibujo es un solo rⁿ

Cuatro casos

Clasificar lim rⁿ

lim rⁿ según la razón r

Razón r	lim rⁿ	Comportamiento
\|r\|<1	0	Converge
r=1	1	Converge
r=−1	No existe	Oscila·diverge
\|r\|>1	No existe	Diverge

🧭 Las fronteras son r=1 y r=−1

①La división ocurre en |r|=1

②La convergencia solo vale en la única banda −1<r≤1

③r=−1 oscila, así que no es convergencia

④Este sentido de frontera es la clave de todo problema de límite geométrico

La condición de convergencia en una línea

Condición de convergencia de rⁿ

lim_n→∞ rⁿ converge ⇔ -1 < r ≤ 1

El límite existe solo en este rango (0 si −1<r<1, 1 si r=1)

Valor límite central

-1<r<1 ⇒ lim_n→∞ rⁿ = 0

Una razón de valor absoluto menor que 1 se desvanece a 0 al elevarla repetidamente

Límites racionales — divide por el término dominante

✏️ Límites racionales — divide por el término dominante

Cuando rⁿ aparece en numerador y denominador, divide por el término de mayor |r| para crear partes que tiendan a 0.

Ejemplo 1

Para r>1, halla lim_n→∞ rⁿ - 1rⁿ + 1.

Divide numerador y denominador por el término dominante rⁿ.

rⁿ - 1rⁿ + 1 = 1 - (1/r)ⁿ1 + (1/r)ⁿ

Como r>1 da 1/r<1, entonces (1/r)ⁿ→0.

→ 1 - 01 + 0 = 1

▸ 1

Decidir "qué término crece más rápido" y dividir por él es la jugada estándar de los límites racionales.

Resumen

Resumen del límite geométrico

lim_n→∞ rⁿ = 0 (−1<r<1), 1 (r=1), diverge (resto)

Converge en −1<r≤1; dentro de él solo r=1 da 1, el resto da 0

tipo de examen

Halla lim_n→∞ 3ⁿ⁺¹ + 2ⁿ3ⁿ - 2ⁿ.

①0

②1

③2

④3

⑤Diverge

▸ ④ 3

Divide numerador y denominador por la base mayor 3ⁿ.

3·3ⁿ + 2ⁿ3ⁿ - 2ⁿ = 3 + (2/3)ⁿ1 - (2/3)ⁿ

Como (2/3)ⁿ→0, el límite es 3/1.

→ 3 + 01 - 0 = 3

🎯 Puntos de examen

①lim rⁿ converge solo en −1<r≤1

②En formas racionales, divide por la base mayor

③Fabrica (base pequeña/base grande)ⁿ→0

④No olvides que la oscilación r=−1 es divergencia

⑤Si n está en un exponente, sospecha primero de un límite geométrico

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