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3° Bachillerato (17-18 años)

Límite de una sucesión geométrica

Limit of a Geometric Sequence

El destino de rⁿ lo fija r
0.7
👀 Velo
①Si |r|<1, cada producto encoge hacia 0
②Si r=1, se queda en 1
③Si r=−1, oscila entre 1 y −1 (diverge)
④Si |r|>1, estalla y diverge
Cuatro casos

Clasificar lim rⁿ

📊lim rⁿ según la razón r
Razón rlim rⁿComportamiento
|r|<10Converge
r=11Converge
r=−1No existeOscila·diverge
|r|>1No existeDiverge
🧭 Las fronteras son r=1 y r=−1
①La división ocurre en |r|=1
②La convergencia solo vale en la única banda −1<r≤1
③r=−1 oscila, así que no es convergencia
④Este sentido de frontera es la clave de todo problema de límite geométrico
La condición de convergencia en una línea
Condición de convergencia de rⁿ
limn→∞ rn converge ⇔ -1 < r ≤ 1
El límite existe solo en este rango (0 si −1<r<1, 1 si r=1)
Valor límite central
-1<r<1 ⇒ limn→∞ rn = 0
Una razón de valor absoluto menor que 1 se desvanece a 0 al elevarla repetidamente
Límites racionales — divide por el término dominante
✏️ Límites racionales — divide por el término dominante
Cuando rⁿ aparece en numerador y denominador, divide por el término de mayor |r| para crear partes que tiendan a 0.
Ejemplo 1
Para r>1, halla limn→∞ rn - 1rn + 1.
1
Divide numerador y denominador por el término dominante rⁿ.
rn - 1rn + 1 = 1 - (1/r)n1 + (1/r)n
2
Como r>1 da 1/r<1, entonces (1/r)ⁿ→0.
→ 1 - 01 + 0 = 1
▸ 1
Decidir "qué término crece más rápido" y dividir por él es la jugada estándar de los límites racionales.
Resumen
Resumen del límite geométrico
limn→∞ rn = 0 (−1<r<1), 1 (r=1), diverge (resto)
Converge en −1<r≤1; dentro de él solo r=1 da 1, el resto da 0
CSAT 2022 Matemáticas (Cálculo) #23, adaptado
Halla limn→∞ 3n+1 + 2n3n - 2n.
①0
②1
③2
④3
⑤Diverge
▸ ④ 3
1
Divide numerador y denominador por la base mayor 3ⁿ.
3·3n + 2n3n - 2n = 3 + (2/3)n1 - (2/3)n
2
Como (2/3)ⁿ→0, el límite es 3/1.
→ 3 + 01 - 0 = 3
🎯 Puntos de examen
①lim rⁿ converge solo en −1<r≤1
②En formas racionales, divide por la base mayor
③Fabrica (base pequeña/base grande)ⁿ→0
④No olvides que la oscilación r=−1 es divergencia
⑤Si n está en un exponente, sospecha primero de un límite geométrico
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