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Límite de una sucesión geométrica

Limit of a Geometric Sequence

Una sucesión geométrica se construye multiplicando una y otra vez por el mismo número r. Si |r| es menor que 1, cada multiplicación encoge los términos hacia 0; si es mayor que 1, cada multiplicación los agranda y no se estabilizan en ningún valor. Por eso que exista lim rⁿ depende solo de la razón r, y las fronteras son r = 1 y r = −1. Al mover el deslizador de la razón, los puntos de n = 1 a 12 se agrupan en 0, salen de la figura o alternan entre 1 y −1.

La razón r decide el límite de rⁿ

0.7
👀 Cuatro comportamientos en la figura
①Si |r| < 1, el tamaño disminuye con cada multiplicación y los términos convergen a 0. Si r es negativa, se acercan a 0 alternando por encima y por debajo del eje
②Si r = 1, todos los términos valen 1
③Si r = −1, los términos alternan entre −1 y 1, así que no hay límite (oscila)
④Si |r| > 1, el tamaño crece sin límite y la sucesión diverge. Con r = 1,5, r¹² ya pasa de 129
⑤El valor de r¹² en la franja superior muestra además que una razón cercana a 1, como r = 0,9, se acerca a 0 muy despacio

Los cuatro casos

Límite de rⁿ

lim rⁿ según la razón r
Razón rlim rⁿComportamiento
|r| < 10Converge
r = 11Converge
r = −1No existeDiverge (oscila)
|r| > 1No existeDiverge
🧭 Las fronteras r = 1 y r = −1
①La frontera es |r| = 1
②La sucesión converge exactamente cuando −1 < r ≤ 1. El extremo derecho r = 1 entra y el izquierdo r = −1 no
③Con r = −1 los términos mantienen tamaño 1 pero no se acercan a un único valor, así que no convergen
④Los problemas de límites de sucesiones geométricas se reducen a ver dónde cae la razón dentro de este intervalo

Condición de convergencia

Cuándo converge {rⁿ}
limn→∞ rn converge ⇔ −1 < r ≤ 1
Solo en este intervalo existe el límite: vale 0 si −1 < r < 1 y 1 si r = 1
El límite que más se usa
−1 < r < 1 ⇒ limn→∞ rn = 0
Al elevar a potencias cada vez mayores un número de valor absoluto menor que 1, el resultado se acerca cada vez más a 0

Límites de fracciones: dividir por el término que crece más rápido

✏️ Límites de fracciones: dividir por el término que crece más rápido
Si en el numerador y el denominador hay términos de la forma aⁿ, se dividen ambos por el término cuya base tiene mayor valor absoluto. Los demás términos quedan como (base menor/base mayor)ⁿ y tienden a 0.
Ejemplo 1
Para r>1, halla limn→∞ rn - 1rn + 1.
1
Se dividen numerador y denominador por el término que crece más rápido, rⁿ.
rn - 1rn + 1 = 1 - (1/r)n1 + (1/r)n
2
Si r > 1, entonces 0 < 1/r < 1, así que (1/r)ⁿ → 0.
→ 1 - 01 + 0 = 1
▸ 1
Identificar el término que crece más rápido y dividir por él es el método básico para los límites de fracciones.

Resumen

Límite de una sucesión geométrica
limn→∞ rn = 0 (−1 < r < 1), 1 (r = 1), diverge (en otro caso)
Converge para −1 < r ≤ 1; dentro de ese intervalo el límite es 1 solo si r = 1, y 0 en los demás casos
Examen CSAT 2022 Mat. (Cálculo), pregunta 23, adaptada
Halla limn→∞ 3n+1 + 2n3n - 2n.
①0
②1
③2
④3
⑤Diverge
▸ ④ 3
1
Se dividen numerador y denominador por 3ⁿ, el término de base mayor.
3·3n + 2n3n - 2n = 3 + (2/3)n1 - (2/3)n
2
Como (2/3)ⁿ → 0, el límite es 3/1 = 3.
→ 3 + 01 - 0 = 3
🎯 Claves para el examen
①lim rⁿ converge solo para −1 < r ≤ 1
②En las fracciones, se divide por el término cuya base tiene mayor valor absoluto
③Tras dividir, se usa (base menor/base mayor)ⁿ → 0
④r = −1 oscila, así que diverge
⑤Si n aparece en un exponente, lo primero es pensar en el límite de una sucesión geométrica
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