Serie geométrica infinita

Infinite Geometric Series

¿Sumar para siempre y aun así terminar?

Términos sumados n4

👀 Velo

①Sumar más términos hace crecer la barra

②Pero si la razón es menor que 1, cada cantidad añadida encoge

③Así, aun sumando para siempre, nunca pasa cierto valor (la línea roja) y converge a él

Empieza por la suma parcial

Suma parcial de una sucesión geométrica

S_n = a(1 - rⁿ)1 - r (r ≠ 1)

Suma de los primeros n términos con primer término a y razón r

🧱 Primero, la suma de n términos

①Una serie infinita se define como el límite de las sumas parciales Sₙ

②Escribe primero la fórmula de la suma parcial geométrica

③Luego haz n→∞ — este orden es la clave

Toma el límite y aparece la fórmula

Suma de una serie geométrica infinita

S = a1 - r (|r| < 1)

Con primer término a y razón r, converge solo si |r|<1, con suma a/(1−r)

Condición de convergencia

converge ⇔ a = 0 o |r| < 1

El primer término es 0, o la razón tiene valor absoluto menor que 1

💨 rⁿ desaparece

①Si |r|<1, entonces rⁿ→0 cuando n→∞

②El término rⁿ desaparece de la suma parcial

③Lo que queda es la fórmula de la serie geométrica infinita

Calcúlalo directamente

Ejemplo 1

Halla la suma de la serie geométrica infinita con primer término 3 y razón 1/3.

Revisa la razón — como |1/3|<1, converge.

Sustituye a=3, r=1/3 en S = a/(1−r).

S = 31 - 1/3 = 32/3

▸ S = 9/2

Comprobar la convergencia |r|<1 antes de aplicar la fórmula evita errores.

Resumen

Resultado clave

|r|<1 ⇒ ∑_n=1^∞ a r^n-1 = a1 - r

Una serie geométrica infinita con primer término a, razón r converge a a/(1−r) cuando |r|<1

Tipo de simulacro KICE 2023 Mat. (Cálculo), adaptado

Halla ∑_n=1^∞ 2ⁿ3ⁿ.

①1

②3/2

③2

④5/2

⑤Diverge

▸ ③ 2

Leyendo el término general como (2/3)ⁿ, es una serie geométrica con primer término 2/3 y razón 2/3.

Como |2/3|<1, S = (2/3)/(1−2/3).

S = 2/31/3 = 2

🎯 Puntos de examen

①Comprueba siempre primero la condición |r|<1

②La suma es S=a/(1−r); fija con exactitud el primer término y la razón

③Cuidado con la diferencia de primer término entre ∑arⁿ y ∑arⁿ⁻¹

④Los decimales periódicos y las sumas de figuras también se reducen a esta fórmula

⑤Si no converge, la suma no existe

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