Serie geométrica infinita

Infinite Geometric Series

Sumar infinitos números parece que debería dar algo infinitamente grande, pero no tiene por qué. Si la razón es menor que 1 en valor absoluto, cada término nuevo es más pequeño que el anterior en una proporción fija, así que, por muchos que se sumen, el total nunca pasa de cierto valor y se va acercando a él. Ese valor es a/(1 − r): el primer término a dividido entre 1 − r. La figura usa a = 1 y r = 0,6: al aumentar el número de términos n, las barras de las sumas parciales crecen, pero nunca pasan la línea roja de 2,5.

Sumar sin fin y aun así llegar a un tope

Número de términos sumados, n4

👀 Qué leer en la figura

①La barra Sₙ es la suma de los n primeros términos, y la parte clara de arriba es el término recién sumado, 0,6ⁿ⁻¹

②Cada parte nueva mide 0,6 veces la anterior, así que las barras crecen cada vez menos

③La diferencia que queda en la franja superior, 2,5 − Sₙ, es igual a 2,5 × 0,6ⁿ y se acerca a 0 cuando n crece. Por eso las barras no pasan la línea roja de 2,5 y convergen a ese valor

Primero, la suma parcial

Suma parcial de una progresión geométrica

S_n = a(1 - rⁿ)1 - r (r ≠ 1)

Suma de los n primeros términos de una progresión geométrica de primer término a y razón r

🧱 Antes, la suma de n términos

①La suma de una serie infinita se define como el límite de sus sumas parciales Sₙ

②Primero se escribe Sₙ con la fórmula de la suma de una progresión geométrica

③Después se toma el límite cuando n → ∞. Respetar este orden evita atribuir una suma a una serie que no converge

Al pasar al límite aparece la fórmula

Suma de una serie geométrica infinita

S = a1 - r (|r| < 1)

Con primer término a ≠ 0 y razón r, la serie converge solo si |r| < 1, y su suma es a/(1 − r)

Condición de convergencia

converge ⇔ a = 0 o |r| < 1

Si el primer término es 0, todos los términos valen 0 y la suma es 0 sea cual sea la razón. Si a ≠ 0, hace falta |r| < 1

💨 rⁿ desaparece

①Si |r| < 1, cuando n → ∞ se tiene rⁿ → 0

②En la suma parcial a(1 − rⁿ)/(1 − r), rⁿ tiende a 0 y solo queda a/(1 − r)

③Si |r| ≥ 1, rⁿ no tiende a 0, así que, mientras a ≠ 0, la serie diverge

A calcular

Ejemplo 1

Halla la suma de la serie geométrica infinita de primer término 3 y razón 1/3.

Se comprueba el valor absoluto de la razón. Como |1/3| < 1, la serie converge.

Se sustituyen a = 3 y r = 1/3 en S = a/(1 − r).

S = 31 - 1/3 = 32/3

▸ S = 9/2

Comprobar |r| < 1 antes de usar la fórmula evita errores.

Resumen

Resultado clave

|r|<1 ⇒ ∑_n=1^∞ a r^n-1 = a1 - r

Una serie geométrica infinita de primer término a y razón r converge a a/(1 − r) cuando |r| < 1

Tipo de simulacro KICE 2023 Mat. (Cálculo), adaptado

Halla ∑_n=1^∞ 2ⁿ3ⁿ.

①1

②3/2

③2

④5/2

⑤Diverge

▸ ③ 2

Si el término general se escribe como (2/3)ⁿ, se ve una serie geométrica de primer término 2/3 y razón 2/3.

Como |2/3| < 1, S = (2/3)/(1 − 2/3).

S = 2/31/3 = 2

🎯 Claves para el examen

①Antes de usar la fórmula de la suma, se comprueba |r| < 1

②La fórmula es S = a/(1 − r); hay que identificar con exactitud el primer término y la razón

③∑arⁿ tiene primer término ar, y ∑arⁿ⁻¹ tiene primer término a

④Los decimales periódicos y las áreas totales de figuras también se resuelven con esta fórmula

⑤Si la serie no converge, no tiene suma

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Series

Aplicaciones de la serie geométrica

Última actualización 2026-10-17

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