Serie geométrica infinita

Infinite Geometric Series

Sumar infinitos términos parece que tendría que dispararse al infinito, pero no siempre funciona así. Cuando la razón es menor que 1, cada trozo nuevo es una fracción del anterior, de modo que por más que sumes el total nunca atraviesa cierto techo y en su lugar converge hacia él. Ese techo es exactamente a/(1−r), el primer término dividido entre uno menos la razón. Arrastra el número de términos n y observa cómo las barras de la suma parcial siguen subiendo pero nunca cruzan la línea roja del límite.

¿Sumar para siempre y aun así terminar?

Términos sumados n4

👀 Velo

①Sumar más términos hace crecer la barra

②Pero si la razón es menor que 1, cada cantidad añadida encoge

③Así, aun sumando para siempre, nunca pasa cierto valor (la línea roja) y converge a él

Empieza por la suma parcial

Suma parcial de una sucesión geométrica

S_n = a(1 - rⁿ)1 - r (r ≠ 1)

Suma de los primeros n términos con primer término a y razón r

🧱 Primero, la suma de n términos

①Una serie infinita se define como el límite de las sumas parciales Sₙ

②Escribe primero la fórmula de la suma parcial geométrica

③Luego haz n→∞ — este orden es la clave

Toma el límite y aparece la fórmula

Suma de una serie geométrica infinita

S = a1 - r (|r| < 1)

Con primer término a y razón r, converge solo si |r|<1, con suma a/(1−r)

Condición de convergencia

converge ⇔ a = 0 o |r| < 1

El primer término es 0, o la razón tiene valor absoluto menor que 1

💨 rⁿ desaparece

①Si |r|<1, entonces rⁿ→0 cuando n→∞

②El término rⁿ desaparece de la suma parcial

③Lo que queda es la fórmula de la serie geométrica infinita

Calcúlalo directamente

Ejemplo 1

Halla la suma de la serie geométrica infinita con primer término 3 y razón 1/3.

Revisa la razón — como |1/3|<1, converge.

Sustituye a=3, r=1/3 en S = a/(1−r).

S = 31 - 1/3 = 32/3

▸ S = 9/2

Comprobar la convergencia |r|<1 antes de aplicar la fórmula evita errores.

Resumen

Resultado clave

|r|<1 ⇒ ∑_n=1^∞ a r^n-1 = a1 - r

Una serie geométrica infinita con primer término a, razón r converge a a/(1−r) cuando |r|<1

Tipo de simulacro KICE 2023 Mat. (Cálculo), adaptado

Halla ∑_n=1^∞ 2ⁿ3ⁿ.

①1

②3/2

③2

④5/2

⑤Diverge

▸ ③ 2

Leyendo el término general como (2/3)ⁿ, es una serie geométrica con primer término 2/3 y razón 2/3.

Como |2/3|<1, S = (2/3)/(1−2/3).

S = 2/31/3 = 2

🎯 Puntos de examen

①Comprueba siempre primero la condición |r|<1

②La suma es S=a/(1−r); fija con exactitud el primer término y la razón

③Cuidado con la diferencia de primer término entre ∑arⁿ y ∑arⁿ⁻¹

④Los decimales periódicos y las sumas de figuras también se reducen a esta fórmula

⑤Si no converge, la suma no existe

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Aplicaciones de la serie geométrica

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