Límite de una sucesión

Limit of a Sequence

Una sucesión es una fila sin fin de valores numerados, uno por cada n. La verdadera pregunta es si esos valores se asientan hacia un único destino a medida que n crece sin parar, y ese destino es lo que llamamos el límite. Si los términos se acercan tanto como queramos a un número decimos que converge; si se dispersan o rebotan para siempre, diverge. Arrastra el deslizador del número de términos para ver cómo los puntos se cierran sobre L = 1, y luego cambia entre sucesiones para comparar la convergencia y la divergencia una al lado de la otra.

A dónde tiende la sucesión

términos visibles5

👀 Observación intuitiva

Los puntos dorados son los términos. A más n, más cerca de la línea roja (L = 1). Eso es converger.

Definición ε-N

📏 Qué significa la franja ε

①A más n, más estrecha es la franja

②Por pequeño que sea ε, hay un N a partir del cual todos los términos están dentro

③Esa es la definición rigurosa de convergencia

Definición ε-N

∀ε > 0, ∃N : n ≥ N ⇒ |a_n − L| < ε

para cualquier ε > 0 existe un N a partir del cual |aₙ − L| < ε

Convergencia vs divergencia

sucesión0

🔍 Tres modos

①0: 1 + 1/n → 1 (converge)

②1: (−1)ⁿ(1 + 1/n) oscila y diverge

③2: n/(n+1) → 1 (converge desde abajo)

Propiedades de los límites

Aritmética de límites

lim(a_n ± b_n) = α ± β, lim(a_n · b_n) = α · β

si ambos convergen, el límite de la suma/diferencia/producto es la operación de los límites

Cociente

lim a_nb_n = αβ (β ≠ 0)

si β ≠ 0, el límite del cociente es el cociente de los límites

Teorema del sándwich

a_n ≤ c_n ≤ b_n, lim a_n = lim b_n = L ⇒ lim c_n = L

si dos sucesiones se aproximan al mismo valor, la del medio también

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Calcula lim_n→∞ 2n+3n-1.

Divide numerador y denominador entre n.

2n+3n-1 = 2 + 3/n1 - 1/n

Cuando n → ∞, 3/n → 0 y 1/n → 0.

2 + 01 - 0 = 2

▸ 2

En límites de expresiones racionales, dividir por la mayor potencia del denominador es la estrategia estándar.

Ejemplo 2

Calcula lim_n→∞ sin nn.

Como −1 ≤ sin n ≤ 1, divide todos los lados entre el número positivo n.

-1n ≤ sin nn ≤ 1n

Ambos límites externos son 0, así que por el teorema del sándwich el del medio es 0.

lim_n→∞ (-1/n) = lim_n→∞ 1n = 0

▸ 0

Para sucesiones acotadas como sin o cos, acota con ±1/n y aplica el teorema del sándwich.

Resumen

Límites esenciales

lim_n→∞ 1n^p = 0 (p > 0), lim_n→∞ rⁿ = 0 (|r| < 1)

1/n^p → 0; |r| < 1 implica rⁿ → 0

tipo examen (variante)

¿Cuánto vale lim_n→∞ (√(n²+3n) − n)?

①1

②32

③2

④3

⑤∞ (diverge)

▸ ② 32

Es una forma ∞ − ∞ con raíz, así que multiplica por el conjugado para racionalizar.

√(n²+3n) − n = 3n√(n²+3n) + n

Divide numerador y denominador entre n; el denominador tiende a 2.

3√(1 + 3/n) + 1 → 32

🎯 Puntos clave

①Comprende la definición ε-N

②Si ambos límites existen, puedes operar con ellos

③Las sucesiones oscilantes no tienen límite

④Sándwich: si dos lados igualan, el medio también

⑤Memoriza 1/n^p → 0 y r^n → 0 con |r| < 1

Límite de una sucesión geométrica

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