Límite de una sucesión

Limit of a Sequence

Una sucesión es una fila interminable de términos numerados. Si, al crecer el índice n, los términos se acercan tanto como se quiera a un valor, ese valor es el límite y se dice que la sucesión converge a él. Si los términos no se agrupan en un valor, porque crecen sin límite u oscilan entre dos valores, la sucesión diverge. En las figuras, al aumentar n, aₙ = 1 + 1/n se acerca a L = 1, y al reducir ε se retrasa el índice N a partir del cual los términos se quedan dentro de la franja.

El valor al que se acerca una sucesión

Una sucesión no tiene último término, porque su índice n crece sin fin. Por eso el límite de una sucesión no pregunta por el valor de un término concreto, sino si los términos, una vez que el índice es lo bastante grande, se quedan cerca de un único valor L. Si, por estrecha que sea la franja que se dibuje alrededor de L, siempre hay un índice a partir del cual todos los términos quedan dentro, la sucesión converge a L; si no existe tal L, diverge. El límite de una función trata de un número real x que se acerca a a; el límite de una sucesión trata solo del número natural n que crece sin límite. Con esta definición, el límite de la suma, la resta o el producto de dos sucesiones convergentes es la suma, la resta o el producto de sus límites, y lo mismo vale para el cociente mientras el límite del denominador no sea 0.

Los puntos de la primera figura son los 20 primeros términos de aₙ = 1 + 1/n, y la línea discontinua roja es el límite L = 1. Los términos hasta el n-ésimo elegido con el deslizador se encienden en dorado, y la franja superior muestra el valor de ese término y su distancia a la línea del límite, |aₙ − 1| = 1/n. Al llevar n de 1 a 20, la distancia baja por 1, 1/2, 1/3, … hasta 0,05; cada paso es más pequeño que el anterior, pero la distancia nunca llega a 0. En la segunda figura, el deslizador ε fija el ancho de la franja verde alrededor de L. Los términos dentro de la franja son verdes, los de fuera, dorados, y la línea discontinua blanca marca N, el primer índice a partir del cual todos los términos quedan dentro. Al reducir ε, N se desplaza a la derecha, pero sea cual sea ε, ese N siempre existe.

Términos encendidos, n5

👀 Qué leer en la figura

①Los puntos dorados son los términos y la línea discontinua roja es el límite L = 1

②Al crecer n, la distancia 1/n entre el término y la línea disminuye hacia 0

③Ningún término llega a distancia 0, pero, por pequeña que sea la distancia que se fije, a partir de cierto índice todos los términos están más cerca. Eso es converger

Decirlo con precisión: ε y N

Que los términos no paren de crecer no significa que la sucesión tenga que diverger. En la tercera figura, n/(n + 1) solo aumenta y aun así nunca pasa de 1 y converge a 1. En cambio, en (−1)ⁿ(1 + 1/n) el tamaño de los términos se acerca a 1, pero el signo va alternando, así que los términos saltan entre las cercanías de 1 y de −1 y no se agrupan en un valor: la sucesión diverge. Diverger hacia el infinito y diverger oscilando son dos formas de divergencia, pero tienen aspecto distinto y conviene distinguirlas. Tampoco se puede decidir mirando solo los primeros términos. La convergencia habla de todos los términos a partir de cierto índice, así que, por lejos que estén los primeros, la conclusión no cambia. En las expresiones racionales se divide por la potencia más alta y se mira si términos como 1/n tienden a 0; un factor acotado como sin n se encierra entre dos cotas.

Semiancho de la franja, ε0.1

📏 La franja ε y el índice N

①ε es el error que se permite alrededor del límite, es decir, el semiancho de la franja

②En aₙ = 1 + 1/n un término está dentro de la franja cuando 1/n < ε, así que basta tomar N = ⌊1/ε⌋ + 1. Con ε = 0,1, N = 11

③Que exista ese N por pequeño que sea ε es la definición exacta de convergencia

Definición ε-N

∀ε > 0, ∃N : n ≥ N ⇒ |a_n − L| < ε

Para todo ε positivo existe un índice N tal que todos los términos con n ≥ N cumplen |aₙ − L| < ε

Convergencia y divergencia

Elegir sucesión1+1/n

🔍 Tres comportamientos

①1 + 1/n se acerca a 1 desde arriba y converge

②(−1)ⁿ(1 + 1/n) alterna entre las cercanías de 1 y de −1 sin agruparse en un valor, así que diverge (oscila)

③n/(n + 1) se acerca a 1 desde abajo y converge. Una sucesión puede crecer siempre y aun así converger

Propiedades básicas de los límites

Límite de la suma, la resta y el producto

lim(a_n ± b_n) = α ± β, lim(a_n · b_n) = α · β

Si lim aₙ = α y lim bₙ = β, el límite de la suma, la resta o el producto es la suma, la resta o el producto de los límites

Límite del cociente

lim a_nb_n = αβ (β ≠ 0)

Si β ≠ 0 y bₙ ≠ 0, el límite del cociente es el cociente de los límites

Teorema del sándwich

a_n ≤ c_n ≤ b_n, lim a_n = lim b_n = L ⇒ lim c_n = L

Una sucesión encerrada entre dos sucesiones que tienden al mismo valor también tiende a ese valor

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Calcula lim_n→∞ 2n+3n-1.

Se dividen numerador y denominador por n.

2n+3n-1 = 2 + 3/n1 - 1/n

Cuando n → ∞, 3/n → 0 y 1/n → 0.

2 + 01 - 0 = 2

▸ 2

Para el límite de una expresión racional, lo básico es dividir numerador y denominador por la potencia más alta del denominador.

Ejemplo 2

Calcula lim_n→∞ sin nn.

Como −1 ≤ sin n ≤ 1, se divide cada miembro por el número positivo n.

-1n ≤ sin nn ≤ 1n

Los dos límites exteriores valen 0, así que por el teorema del sándwich el del centro también es 0.

lim_n→∞ (-1/n) = lim_n→∞ 1n = 0

▸ 0

Una sucesión de valores acotados, como sin o cos, se encierra entre ±1/n y se aplica el teorema del sándwich.

Resumen

Límites más usados

lim_n→∞ 1n^p = 0 (p > 0), lim_n→∞ rⁿ = 0 (|r| < 1)

Para p > 0, 1/nᵖ converge a 0; para |r| < 1, rⁿ converge a 0

Problema tipo CSAT, adaptado

¿Cuánto vale lim_n→∞ (√(n²+3n) − n)?

①1

②32

③2

④3

⑤∞ (diverge)

▸ ② 32

Es de la forma ∞ − ∞ con una raíz, así que se multiplica por el conjugado para racionalizar.

√(n²+3n) − n = 3n√(n²+3n) + n

Al dividir numerador y denominador por n, el denominador tiende a 2.

3√(1 + 3/n) + 1 → 32

🎯 Claves para el examen

①Converger significa que todos los términos a partir de cierto índice están en una franja alrededor del límite

②La suma, la resta, el producto y el cociente de sucesiones convergentes se calculan con sus límites

③Una sucesión que oscila no tiene límite, así que diverge

④Un factor acotado se encierra entre dos cotas y se aplica el teorema del sándwich

⑤Una expresión racional se divide por la potencia más alta del denominador y se usa 1/nᵖ → 0

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Distribución de la media muestral

Límite de una sucesión geométrica

Última actualización 2026-10-17

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