Limit of a Sequence
Una sucesión es una fila sin fin de valores numerados, uno por cada n. La verdadera pregunta es si esos valores se asientan hacia un único destino a medida que n crece sin parar, y ese destino es lo que llamamos el límite. Si los términos se acercan tanto como queramos a un número decimos que converge; si se dispersan o rebotan para siempre, diverge. Arrastra el deslizador del número de términos y los puntos se cierran sobre L = 1; cambia entre sucesiones y se comparan la convergencia y la divergencia.
El índice n crece sin fin, y no hay un último término que inspeccionar. Por eso el límite de una sucesión no es una suma de los primeros términos; pregunta si los términos posteriores se quedan cerca de un valor. Si, pase la franja que pases, todos los términos a partir de cierto índice caben dentro, la sucesión converge; si nunca se pega a un valor, diverge. A diferencia del límite de una función hacia un punto a, aquí solo miras índices enteros con n → ∞. Sumas, restas y productos de dos sucesiones convergentes usan cada límite, y un cociente es el cociente de los límites cuando el del denominador no es 0. Si dos sucesiones aprietan a una tercera al mismo valor, la del medio también converge ahí: es el teorema del sándwich.
El primer dibujo es aₙ = 1 + 1/n, con una línea roja a trazos a altura L = 1. Los puntos dorados están claros para tantos términos como elijas; el resto se ve tenue. Los índices van del 1 al 20. Al subir el número de términos se encienden más puntos, y cuando ese número es 5 o más aparece una franja dorada de ancho ε = 1/n. El mismo dibujo se reutiliza en el apartado ε-N. No hay un deslizador aparte para ε; el ancho de la franja está atado a este n. El dibujo de comparación cambia entre tres sucesiones. El modo 0 es 1+1/n, el 1 es (−1)ⁿ(1+1/n) partido arriba y abajo, y el 2 es n/(n+1) pegado hacia 1 desde abajo. Cada índice tiene un punto en su sitio.
Que los primeros términos estén creciendo no obliga a que la sucesión diverga. En el dibujo de comparación, n/(n+1) sigue creciendo y aun así se queda por debajo de 1. A la inversa, aunque los tamaños parezcan grandes, un patrón como (−1)ⁿ(1+1/n) que salta entre dos alturas no se reúne en un solo límite. Si usas una sola palabra para irse al infinito y para oscilar, tapas si los puntos caen hacia un lado o rebotan entre dos valores. Decidir con solo los cinco primeros términos pierde los posteriores que entran en la franja que se estrecha ε = 1/n. En una expresión racional divides por la potencia dominante y miras 1/n; un factor acotado se juzga apretándolo por ambos lados.