Métodos de integración

Integration Methods

Integrar cuesta porque los integrandos tienen formas muy distintas, así que se elige el método que encaja con cada forma. El cambio de variable sustituye una función interior por u y lleva a una integral más sencilla; la integración por partes usa al revés la regla del producto para cambiar una integral difícil por otra más fácil. Una raíz sugiere una sustitución trigonométrica y una fracción sugiere fracciones parciales: la forma indica el método. En la primera figura, al mover el límite superior t, el área en x y el área en u dan siempre el mismo valor, sin(t²); en la segunda, el área bajo xeˣ coincide con el valor obtenido por partes.

Cambio de variable

Límite superior t2

🔄 De una integral en x a una en u

①En 2x cos(x²), dentro del coseno está x², y su derivada 2x aparece multiplicando delante

②Con u = x² se tiene du = 2x dx, así que todo 2x cos(x²) dx se convierte en cos u du

③El intervalo también cambia: cuando x va de 0 a t, u va de 0 a t². Por eso las dos áreas de la figura valen siempre sin(t²)

④Así, la primitiva es sin u + C = sin(x²) + C

Cambio de variable

∫ f(g(x)) · g′(x) dx = ∫ f(u) du (u = g(x))

Si la función interior se llama u = g(x), entonces g′(x) dx = du. En una integral definida, los límites también se pasan a valores de u

Integración por partes

Límite superior t1.5

Integración por partes

∫ u dv = uv − ∫ v du

Se obtiene integrando los dos miembros de la regla del producto (uv)′ = u′v + uv′ y despejando. Como u se elige el factor que se simplifica al derivar, y como dv el que es fácil de integrar

🧩 Cómo elegir u

①Un orden habitual para elegir u es: logarítmica, polinómica, trigonométrica, exponencial

②En ∫xeˣ dx se toma el polinomio x como u y eˣ dx como dv, así que du = dx y v = eˣ

③Entonces ∫xeˣ dx = xeˣ − ∫eˣ dx = xeˣ − eˣ + C, y de 0 a t da (t − 1)eᵗ + 1, el valor que aparece bajo la figura

Métodos según la forma

Sustitución trigonométrica

√(a² − x²) → x = a sin θ, √(x² − a²) → x = a sec θ, √(x² + a²) → x = a tan θ

La sustitución se elige según lo que hay dentro de la raíz. Se basa en identidades como 1 − sin²θ = cos²θ, que eliminan la raíz

Fracciones parciales

1(x-a)(x-b) = Ax-a + Bx-b

Una función racional cuyo denominador es producto de factores lineales se descompone en fracciones parciales y cada una se integra como un logaritmo. Multiplicando por (x − a)(x − b) y tomando x = a y x = b se obtienen A y B

💡 Cómo elegir el método

①Si aparecen una función interior y su derivada, cambio de variable

②Si es un producto de dos funciones de tipos distintos, por partes

③Si dentro de una raíz hay algo como a² − x², sustitución trigonométrica

④Si es una fracción con denominador factorizable, fracciones parciales

⑤Al terminar, se deriva el resultado para comprobar que vuelve el integrando

Integrales que conviene saber

Exponencial y 1/x

∫ eˣ dx = eˣ + C, ∫ 1x dx = ln|x| + C

La integral de eˣ es eˣ, y la de 1/x es ln|x|; el valor absoluto permite cubrir también el tramo con x < 0

Integrales trigonométricas

∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C

Como (cos x)′ = −sin x, la integral de sin x lleva signo menos

Integrales de sec² y csc²

∫ sec²x dx = tan x + C, ∫ csc²x dx = −cot x + C

Son (tan x)′ = sec²x y (cot x)′ = −csc²x leídas al revés

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Halla la integral indefinida ∫ 2x cos(x²) dx.

Se llama u a la función interior x², de modo que du = 2x dx.

u = x², du = 2x dx

Se integra respecto de u y se vuelve a x.

∫ cos u du = sin u + C = sin(x²) + C

▸ sin(x²) + C

Si la derivada de la función interior aparece como factor, el cambio de variable funciona.

Ejemplo 2

Halla la integral indefinida ∫ x e^x dx.

Con u = x y dv = e^x dx, se tiene du = dx y v = e^x.

u = x, dv = e^x dx ⇒ du = dx, v = e^x

Se sustituye en ∫ u dv = uv − ∫ v du.

x e^x − ∫ e^x dx = x e^x − e^x + C

▸ (x − 1)e^x + C

Tomar el polinomio como u baja su grado cada vez que se deriva, y la integral se simplifica. Tomar eˣ como u subiría la potencia de x y lo complicaría.

Resumen

Elegir el método

compuesta → cambio de variable, producto → por partes, raíz → sustitución trigonométrica, fracción → fracciones parciales

Se mira la forma del integrando y se elige uno de los cuatro

Problema tipo CSAT, adaptado

¿Cuál es el valor de ∫₀¹ 2x(x²+1)³ dx?

①154

②4

③174

④152

⑤8

▸ ① 154

Se hace el cambio u = x² + 1 y se cambian también los límites: cuando x va de 0 a 1, u va de 1 a 2.

u = x² + 1, x: 0 → 1 ⇒ u: 1 → 2

Se calcula la integral definida en u.

∫₁² u³ du = 2⁴ − 1⁴4 = 154

🎯 Claves para el examen

①En el cambio de variable lo esencial es qué llamar u; casi siempre, la función interior

②En la integración por partes, u se elige en el orden logarítmica, polinómica, trigonométrica, exponencial

③Al hacer un cambio de variable en una integral definida, los límites se pasan a valores de u

④En fracciones parciales, primero se factoriza el denominador y luego se hallan los coeficientes

⑤Después de integrar, se deriva el resultado para comprobarlo

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Integrales definidas

Última actualización 2026-10-17

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