Métodos de integración

Integration Methods

La integración parece difícil porque los integrandos vienen en muchas formas, así que el truco está en elegir la herramienta adecuada para cada una. El cambio de variable reescribe un problema enredado en x como uno más simple en una nueva variable u, mientras que la integración por partes cambia una integral difícil por otra más fácil. Una raíz cuadrada sugiere una sustitución trigonométrica y una fracción sugiere fracciones parciales, así que la propia forma señala la estrategia. Mueve el deslizador del límite superior y el mundo de x se convierte en el mundo de u, y se acumula el área bajo xeˣ.

Cambio de variable

límite superior2

🔄 Cambia de mundo

①Mundo x: 2x·cos(x²) — complicada

②Con u = x² → mundo u: cos(u) — fácil

③Integras y vuelves a x: sin(x²) + C

Cambio de variable

∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(u) du (u = g(x))

tomas u = g(x), entonces g'(x) dx = du

Integración por partes

límite superior1.5

Fórmula de partes

∫ u dv = uv − ∫ v du

elige u fácil de derivar y dv fácil de integrar

🧩 Regla LIATE

①Prioridad para u: Log → Inversa trig → Algebraica → Trig → Exponencial

②Ej.: ∫ x eˣ dx → u = x, dv = eˣ dx

③Resultado: x eˣ − ∫ eˣ dx = x eˣ − eˣ + C

Tipos comunes de cambio

Sustitución trigonométrica

√(a² − x²) → x = a sin θ, √(x² − a²) → x = a sec θ, √(x² + a²) → x = a tan θ

elige la sustitución según el radical

Fracciones parciales

1(x-a)(x-b) = Ax-a + Bx-b

descompón la función racional e integra cada término. Multiplica por (x−a)(x−b) y sustituye para hallar A, B

💡 Estrategia

①Compuesta → cambio de variable

②Producto → por partes

③Radical → trigonométrica

④Racional → fracciones parciales

⑤Después de integrar, deriva para comprobar que vuelves al integrando

Fórmulas frecuentes

Exponenciales y logarítmicas

∫ eˣ dx = eˣ + C, ∫ 1x dx = ln|x| + C

la integral de eˣ es eˣ; la de 1/x es ln|x|

Trigonométricas

∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C

¡cuidado con el signo de sin!

sec² y csc²

∫ sec²x dx = tan x + C, ∫ csc²x dx = −cot x + C

son las inversas de sus derivadas

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Calcula la integral indefinida ∫ 2x cos(x²) dx.

Sustituye la función interna x² por u, de modo que du = 2x dx.

u = x², du = 2x dx

Integra en el mundo de u y vuelve a x.

∫ cos u du = sin u + C = sin(x²) + C

▸ sin(x²) + C

La clave de la sustitución es tomar u como la función interna. Ver du = g′(x)dx en el integrando es la señal.

Ejemplo 2

Calcula ∫ x e^x dx.

Por LIATE, toma u = x (algebraica) y dv = e^x dx, así du = dx y v = e^x.

u = x, dv = e^x dx ⇒ du = dx, v = e^x

Aplica la integración por partes ∫u dv = uv − ∫v du.

x e^x − ∫ e^x dx = x e^x − e^x + C

▸ (x − 1)e^x + C

En integración por partes, elige como u el factor que se simplifica al derivar (orden LIATE). Los polinomios suelen ser u.

Resumen

Cómo elegir el método

compuesta → sustitución; producto → partes; radical → trig; racional → fracciones

mira la forma del integrando y elige

tipo de examen

¿Cuánto vale la integral definida ∫₀¹ 2x(x²+1)³ dx?

①154

②4

③174

④152

⑤8

▸ ① 154

Sustituye u = x²+1 y cambia también los límites (x: 0→1 ⇒ u: 1→2).

u = x²+1, x: 0→1 ⇒ u: 1→2

Evalúa la integral definida en u.

∫₁² u³ du = 2⁴ − 1⁴4 = 154

🎯 Puntos clave

①Sustitución: el truco está en elegir bien u

②Partes: aplica LIATE

③Trig: √(a²−x²)→sin θ; √(x²+a²)→tan θ; √(x²−a²)→sec θ

④Fracciones parciales: factoriza y plantea coeficientes

⑤Comprueba siempre derivando

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속도와 가속도

정적분

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