Velocidad y aceleración

Velocity & Acceleration

Derivar la posición da la velocidad

Tiempo t2

👀 Velo

①La curva es la posición x(t) en el tiempo

②La pendiente de la tangente en un instante es la velocidad v

③Pendiente cero significa velocidad cero — se detiene e invierte el sentido

Posición, velocidad, aceleración

Velocidad = derivada de la posición

v(t) = dxdt = x′(t)

Derivar la posición x(t) en el tiempo da la velocidad v(t)

Aceleración = derivada de la velocidad

a(t) = dvdt = x′′(t)

Derivar la velocidad una vez más da la aceleración — la segunda derivada de la posición

Velocidad cero significa giro

Cambio de sentido

v(t)=0 y v cambia de signo en t ⇒ el sentido se invierte en ese instante

v=0 por sí solo no basta — el signo debe cambiar de verdad

🔄 El signo de v es el sentido

①v>0 se mueve en sentido positivo, v<0 en negativo

②En el instante v=0 el sentido se invierte (cuando el signo cambia)

③La rapidez es el valor absoluto |v|

Calcúlalo directamente

Ejemplo 1

Un punto P tiene posición x(t)=t³−6t²+9t. Halla su velocidad y aceleración en t=2.

Toma la primera y segunda derivada para velocidad y aceleración.

v(t)=3t²−12t+9, a(t)=6t−12

Sustituye t=2.

v(2)=12−24+9=−3, a(2)=12−12=0

▸ velocidad −3, aceleración 0

Una velocidad negativa significa que ahora mismo se mueve en sentido negativo.

Ejemplo 2

Halla todos los instantes en que el mismo punto P cambia de sentido. (t>0)

Resuelve v(t)=0.

v(t)=3(t−1)(t−3)=0 ⇒ t=1, t=3

En torno a t=1 y t=3 el signo de v se invierte.

▸ t = 1, t = 3

En cada instante con v=0 hay que confirmar el cambio de signo para un giro real.

Resumen

Relación clave

posición x(t) → derivar → velocidad v(t) → derivar → aceleración a(t)

Una derivada da la velocidad, dos dan la aceleración

Tipo de CSAT 2020 Mat. (Cálculo), adaptado

Un punto P en una recta numérica tiene posición x(t)=t³−3t². ¿En qué instante cambia P de sentido? (t>0)

①t = 0

②t = 1

③t = 2

④t = 3

⑤Nunca cambia de sentido

▸ ③ t = 2

Halla la velocidad.

v(t)=3t²−6t=3t(t−2)

Para t>0, el signo de v pasa de negativo a positivo en t=2.

invierte el sentido en t = 2

🎯 Puntos de examen

①v=x′, a=v′=x″ (una y dos derivadas)

②v>0 sentido positivo, v<0 negativo

③Un giro necesita v=0 Y cambio de signo

④La rapidez es |v|

⑤t=0 es el inicio, normalmente excluido de los cambios de sentido

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