Velocidad y aceleración

Velocity & Acceleration

En una gráfica de posición frente al tiempo, la pendiente de la tangente en cada instante es justo la velocidad en ese momento. Por eso, derivar la posición una vez da la velocidad, y derivar la velocidad otra vez da la aceleración. Cuando la pendiente llega a cero el objeto se detiene un instante y puede invertirse, pero solo hay un giro real cuando el signo de la velocidad cambia de verdad. Mueve el deslizador del tiempo t para ver cómo cambian la pendiente de la tangente y el color del punto, y fíjate en cuándo la velocidad se vuelve cero.

Derivar la posición da la velocidad

Tiempo t2

👀 Velo

①La curva es la posición x(t) en el tiempo

②La pendiente de la tangente en un instante es la velocidad v

③Pendiente cero significa velocidad cero — se detiene e invierte el sentido

Posición, velocidad, aceleración

Velocidad = derivada de la posición

v(t) = dxdt = x′(t)

Derivar la posición x(t) en el tiempo da la velocidad v(t)

Aceleración = derivada de la velocidad

a(t) = dvdt = x′′(t)

Derivar la velocidad una vez más da la aceleración — la segunda derivada de la posición

Velocidad cero significa giro

Cambio de sentido

v(t)=0 y v cambia de signo en t ⇒ el sentido se invierte en ese instante

v=0 por sí solo no basta — el signo debe cambiar de verdad

🔄 El signo de v es el sentido

①v>0 se mueve en sentido positivo, v<0 en negativo

②En el instante v=0 el sentido se invierte (cuando el signo cambia)

③La rapidez es el valor absoluto |v|

Calcúlalo directamente

Ejemplo 1

Un punto P tiene posición x(t)=t³−6t²+9t. Halla su velocidad y aceleración en t=2.

Toma la primera y segunda derivada para velocidad y aceleración.

v(t)=3t²−12t+9, a(t)=6t−12

Sustituye t=2.

v(2)=12−24+9=−3, a(2)=12−12=0

▸ velocidad −3, aceleración 0

Una velocidad negativa significa que ahora mismo se mueve en sentido negativo.

Ejemplo 2

Halla todos los instantes en que el mismo punto P cambia de sentido. (t>0)

Resuelve v(t)=0.

v(t)=3(t−1)(t−3)=0 ⇒ t=1, t=3

En torno a t=1 y t=3 el signo de v se invierte.

▸ t = 1, t = 3

En cada instante con v=0 hay que confirmar el cambio de signo para un giro real.

Resumen

Relación clave

posición x(t) → derivar → velocidad v(t) → derivar → aceleración a(t)

Una derivada da la velocidad, dos dan la aceleración

Tipo de CSAT 2020 Mat. (Cálculo), adaptado

Un punto P en una recta numérica tiene posición x(t)=t³−3t². ¿En qué instante cambia P de sentido? (t>0)

①t = 0

②t = 1

③t = 2

④t = 3

⑤Nunca cambia de sentido

▸ ③ t = 2

Halla la velocidad.

v(t)=3t²−6t=3t(t−2)

Para t>0, el signo de v pasa de negativo a positivo en t=2.

invierte el sentido en t = 2

🎯 Puntos de examen

①v=x′, a=v′=x″ (una y dos derivadas)

②v>0 sentido positivo, v<0 negativo

③Un giro necesita v=0 Y cambio de signo

④La rapidez es |v|

⑤t=0 es el inicio, normalmente excluido de los cambios de sentido

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Ecuaciones e inecuaciones

Métodos de integración

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