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Velocidad y aceleración

Velocity & Acceleration

Si la posición de un punto que se mueve sobre una recta numérica se escribe como función del tiempo, x(t), la pendiente de la tangente a la gráfica posición-tiempo en un instante es la velocidad en ese instante. Al derivar la posición respecto del tiempo se obtiene la velocidad, y al derivar otra vez la velocidad, la aceleración. Cuando la velocidad vale 0 el punto se detiene un instante, pero solo cambia de sentido si el signo de la velocidad cambia ahí. Al mover el instante t se ven a la vez la pendiente de la tangente y el sentido en que avanza el punto P sobre la recta numérica de la derecha.

Al derivar la posición sale la velocidad

2
👀 Qué leer en la figura
①La curva azul es la posición x(t) a lo largo del tiempo, y el punto P de la recta numérica de la derecha es el que se mueve de verdad
②La pendiente de la tangente es la velocidad v en ese instante. Un punto verde indica v > 0 y P sube, en sentido positivo; uno naranja indica v < 0 y P baja
③En t = 1 y t = 3, v = 0 y el signo de v cambia, así que P cambia de sentido. Su posición es 4 en t = 1 y 0 en t = 3

Posición, velocidad y aceleración

La velocidad es la derivada de la posición
v(t) = dxdt = x′(t)
Al derivar la posición x(t) respecto del tiempo se obtiene la velocidad v(t)
La aceleración es la derivada de la velocidad
a(t) = dvdt = x′′(t)
Al derivar otra vez la velocidad se obtiene la aceleración, igual que derivando dos veces la posición

Si cambia el signo, cambia el sentido

Cuándo cambia el sentido
v(t) = 0 y v cambia de signo ⇒ el sentido cambia en ese instante
v = 0 no basta: el signo tiene que cambiar de verdad para que cambie el sentido
🔄 El signo de v es el sentido
①Si v > 0, el punto se mueve en sentido positivo; si v < 0, en sentido negativo
②Si v = 0 en un instante y su signo cambia ahí, el sentido del movimiento cambia en ese instante
③La rapidez es el valor absoluto de la velocidad, |v|; en un instante con aceleración a = 0 la velocidad puede tener un extremo

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1
El punto P tiene posición x(t) = t³ − 6t² + 9t. Halla su velocidad y su aceleración en t = 2.
1
Se deriva la posición una y dos veces para obtener la velocidad y la aceleración.
v(t) = 3t² − 12t + 9, a(t) = 6t − 12
2
Se sustituye t = 2.
v(2) = 12 − 24 + 9 = −3, a(2) = 12 − 12 = 0
▸ Velocidad −3, aceleración 0
La velocidad es negativa, así que P se mueve en sentido negativo. Con t = 2 en la figura se ven los mismos valores.
Ejemplo 2
Halla todos los instantes en que el mismo punto P cambia de sentido (t > 0).
1
Se resuelve v(t) = 0.
v(t) = 3(t − 1)(t − 3) = 0 ⇒ t = 1, t = 3
2
El signo de v cambia alrededor de t = 1 y de t = 3.
▸ t = 1, t = 3
Solo después de comprobar el cambio de signo en cada instante con v = 0 se puede hablar de cambio de sentido.

Resumen

Relación clave
posición x(t) → derivar → velocidad v(t) → derivar → aceleración a(t)
Una derivada da la velocidad; dos, la aceleración
Tipo de examen CSAT 2020 Mat. (Cálculo), adaptado
Un punto P se mueve sobre una recta numérica con posición x(t) = t³ − 3t² en el instante t. ¿En qué instante cambia P de sentido? (t > 0)
①t = 0
②t = 1
③t = 2
④t = 3
⑤Nunca cambia de sentido
▸ ③ t = 2
1
Se halla la velocidad.
v(t) = 3t² − 6t = 3t(t − 2)
2
Para t > 0, el signo de v pasa de negativo a positivo alrededor de t = 2.
El sentido cambia en t = 2
🎯 Claves para el examen
①v = x′ y a = v′ = x″
②v > 0 indica movimiento en sentido positivo, y v < 0, en sentido negativo
③Para cambiar de sentido hacen falta v = 0 y un cambio de signo
④La rapidez es |v|
⑤t = 0 es el instante de salida, así que normalmente no cuenta como cambio de sentido
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