Integrales definidas

Definite Integrals

Una integral definida no es solo área — es área con signo. Lo que queda por encima del eje x cuenta como positivo y lo de debajo como negativo, así que ambas áreas pueden cancelarse entre sí. La verdadera clave es el Teorema Fundamental del Cálculo: halla una primitiva F y resta el valor en el límite inferior F(a) al valor en el límite superior F(b), y eso es tu integral. Mueve abajo los dos extremos a y b para ver cómo las áreas positiva y negativa de sin x se suman y se cancelan.

Integral definida y área con signo

límite inferior a0

límite superior b3.141592653589793

👀 Área con signo

①Encima del eje x es positiva y debajo, negativa

②a = 0, b = π → área 2 (todo positivo)

③a = 0, b = 2π → área 0 (¡se cancelan!)

④Es la idea clave de la integral definida

Teorema fundamental del cálculo

Teorema fundamental (TFC)

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a) (F' = f)

integral definida = primitiva evaluada en b menos en a

🌉 Puente entre derivar e integrar

①Derivar e integrar son operaciones inversas

②Si F'(x) = f(x), la integral es F(b) − F(a)

③Es uno de los teoremas más bellos de las matemáticas

Segunda parte del TFC

ddx ∫_a^x f(t) dt = f(x)

derivar la integral con extremo x devuelve el integrando

Propiedades

División del intervalo

∫_a^b f dx = ∫_a^c f dx + ∫_c^b f dx

partes el intervalo y sumas

Función par o impar

f(−x) = f(x) ⇒ ∫_−a^a f dx = 2 ∫₀^a f dx

simetría par: integra la mitad y multiplica por 2

Función impar

f(−x) = −f(x) ⇒ ∫_−a^a f dx = 0

una impar en intervalo simétrico siempre da 0

⚖️ La potencia de la simetría

①Par: simétrica respecto al eje y → integra la mitad × 2

②Impar: simétrica respecto al origen → cancela → 0

③En examen ahorras la mitad del trabajo

Integrales impropias

límite superior t5

∞ ¿Infinita pero finita?

①1/x² decae muy rápido y el área hasta infinito sigue siendo finita

②∫₁^t 1/x² dx = 1 − 1/t → cuando t → ∞ vale 1

③¡pero ∫₁^∞ 1/x dx = ln t → ∞ diverge!

Convergencia

∫₁^∞ 1x^p dx : p > 1 converge, p ≤ 1 diverge

p-integrales: p = 2 converge; p = 1 (armónica) diverge

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Evalúa la integral definida ∫₁² (3x² + 2) dx.

Halla una antiderivada F(x).

F(x) = x³ + 2x

Aplica el teorema fundamental: F(2) − F(1).

(2³ + 2·2) − (1³ + 2·1) = 12 − 3 = 9

▸ 9

Una integral definida se calcula hallando una antiderivada F y tomando F(superior) − F(inferior) (TFC).

Ejemplo 2

Evalúa ∫₋₂² (x³ + x²) dx.

Separa: x³ es impar (integral 0), x² es par (mitad del intervalo, por 2).

∫₋₂² x³ dx = 0, ∫₋₂² x² dx = 2∫₀² x² dx

Evalúa solo la parte par.

2 · 2³3 = 163

▸ 163

En intervalos simétricos, las partes impares se anulan y las pares se calculan a la mitad y se duplican — gran atajo.

Resumen

Teorema fundamental

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), F'(x) = f(x)

la integral se reduce a hallar una primitiva

tipo examen (variante)

Para g(x) = ∫₁^x (2t + 1) dt, ¿cuánto vale g'(2) + g(1)?

①3

②4

③5

④6

⑤7

▸ ③ 5

Por la segunda forma del TFC, g'(x) = 2x + 1.

g'(x) = 2x + 1 ⇒ g'(2) = 5

g(1) = 0 porque el intervalo tiene anchura cero.

g(1) = 0 ⇒ g'(2) + g(1) = 5

🎯 Puntos clave

①TFC: calcula F(b) − F(a)

②Área con signo: lo de bajo del eje cuenta negativo

③Pares e impares: aprovecha la simetría

④Impropia: p > 1 converge, p ≤ 1 diverge

⑤Segunda parte del TFC: derivar la integral con extremo x = f(x)

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Métodos de integración

Funciones definidas por integrales

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