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Integrales definidas

Definite Integrals

Una integral definida no es solo un área, sino un área con signo. Lo que queda por encima del eje x cuenta como positivo y lo de debajo como negativo, así que si están las dos partes pueden anularse. La clave del cálculo es el teorema fundamental: se busca una primitiva F y se resta su valor en el límite inferior, F(a), a su valor en el superior, F(b). En el primer dibujo, al mover a y b se ve cómo se suman y se anulan las partes positiva y negativa de sin x; en el segundo, el área bajo 1/x² nunca pasa de 1 por mucho que crezca el límite superior.

Integral definida y área con signo

0
3.1
👀 Área con signo
①El área sobre el eje x cuenta como + y la de debajo como −
②Con a = 0 y b = π la integral vale 2 (todo por encima del eje)
③Con a = 0 y b = 2π vale 0 (lo de arriba y lo de abajo se anulan)
④En el dibujo b avanza de 0,1 en 0,1, así que el valor se acerca a 2 en 3,1 y no en π

Teorema fundamental del cálculo

Teorema fundamental del cálculo
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a) (F' = f)
Integral definida = primitiva en el límite superior − primitiva en el límite inferior
🌉 El puente entre derivar e integrar
①Derivar e integrar se deshacen mutuamente
②Si se encuentra F con F'(x) = f(x), la integral definida es F(b) − F(a)
③Para el sin x del dibujo, F(x) = −cos x, así que la integral es cos a − cos b
El teorema en otra forma
ddx ∫ax f(t) dt = f(x)
Al derivar una integral cuyo límite superior es x se recupera el integrando

Propiedades

Dividir el intervalo
∫ab f dx = ∫ac f dx + ∫cb f dx
Integrar por trozos y sumar da la integral sobre todo el intervalo
Funciones simétricas respecto del eje y
f(−x) = f(x) ⇒ ∫−aa f dx = 2 ∫0a f dx
Si la gráfica es simétrica respecto del eje y, se calcula la mitad y se duplica
Funciones simétricas respecto del origen
f(−x) = −f(x) ⇒ ∫−aa f dx = 0
Si la gráfica es simétrica respecto del origen, la integral en un intervalo simétrico vale 0
⚖️ La simetría ahorra cálculos
①Para una función simétrica respecto del eje y (f(−x) = f(x)) se integra de 0 a a y se duplica
②Para una función simétrica respecto del origen (f(−x) = −f(x)) los dos lados se anulan y queda 0
③En un polinomio, se separan los términos de grado par y de grado impar para usar estas propiedades

Integrales hasta el infinito (ampliación)

5
∞ Infinita, pero con área finita
①1/x² disminuye tan deprisa que su área es finita aunque se prolongue sin fin
②El área entre 1 y t es 1 − 1/t, que se acerca a 1 cuando t → ∞
③En cambio, el área bajo 1/x entre 1 y t es ln t, que crece sin límite cuando t → ∞
Cuándo el área es finita
∫1∞ 1xp dx : p > 1 converge, p ≤ 1 diverge
Si p > 1 el área es finita; si p ≤ 1 crece sin límite. Va más allá del curso habitual de bachillerato

Ejemplos para practicar

Ejemplo 1
Evalúa la integral definida ∫12 (3x2 + 2) dx.
1
Se toma F(x) = x³ + 2x, una función cuya derivada es 3x² + 2.
F(x) = x3 + 2x
2
Por el teorema fundamental, se calcula F(2) − F(1).
(23 + 2·2) − (13 + 2·1) = 12 − 3 = 9
▸ 9
F(2) = 12 y F(1) = 3, así que la respuesta es 9. La constante C de la primitiva se anula en la resta.
Ejemplo 2
Evalúa ∫−22 (x3 + x2) dx.
1
x³ es simétrica respecto del origen (integral 0) y x² respecto del eje y (se calcula la mitad y se duplica), así que se separan.
∫−22 x3 dx = 0, ∫−22 x2 dx = 2∫02 x2 dx
2
Se calcula solo la parte x², simétrica respecto del eje y.
2 · 233 = 163
▸ 163
En un intervalo simétrico, la parte simétrica respecto del origen desaparece y la simétrica respecto del eje y solo exige la mitad del trabajo, lo que ahorra muchos cálculos.

Resumen

Teorema fundamental
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a), F'(x) = f(x)
Calcular una integral definida se reduce a encontrar una primitiva
Problema tipo CSAT, adaptado
Para g(x) = ∫1x (2t + 1) dt, ¿cuánto vale g'(2) + g(1)?
①3
②4
③5
④6
⑤7
▸ ③ 5
1
Por el teorema fundamental, g'(x) = 2x + 1, así que g'(2) = 5.
g'(x) = 2x + 1 ⇒ g'(2) = 5
2
g(1) es la integral de 1 a 1, que vale 0.
g(1) = 0 ⇒ g'(2) + g(1) = 5
🎯 Puntos clave
①Calcular F(b) − F(a) es lo básico
②Las partes bajo el eje x cuentan como negativas, así que no hay que confundir integral y área
③En intervalos simétricos, la simetría reduce los cálculos
④Al derivar una integral con límite superior x se obtiene el integrando
⑤Una integral con límite superior x vale 0 cuando x es el límite inferior
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