Funciones definidas por integrales

Functions Defined by Integrals

A medida que empujas poco a poco el límite superior de una integral definida, el área con signo acumulada hasta ese punto se convierte en una función completamente nueva F(x) de x. Donde f es positiva el área se suma y F crece, y donde f es negativa el área se recorta y F disminuye. Sorprendentemente, al derivar esta F construida con área se recupera el integrando original f, y eso es el Teorema Fundamental del Cálculo. Mueve el deslizador del límite superior x para ver cómo se acumula el área sombreada y cuándo el valor de F sube y baja.

El área se acumula en una función

Límite superior x1.5

👀 Velo

①F(x) es el área con signo de f desde 0 hasta x

②Donde f es positiva el área se suma y F crece

③Donde f es negativa F decrece

④En un x donde f cambia de signo, F tiene un extremo

Derivar devuelve el integrando

Teorema Fundamental (Parte 2)

ddx ∫_a^x f(t) dt = f(x)

Con límite inferior a constante, derivar en el límite superior x da f(x)

Valor en el límite inferior

F(a) = ∫_a^a f(t) dt = 0

Si el intervalo es un solo punto, el área es 0

Monotonía y extremos de F

Criterio de monotonía de F

F'(x) = f(x) ⇒ f>0 hace crecer F, f<0 la hace decrecer

F tiene un extremo donde f(x)=0 y cambia de signo

Calcúlalo directamente

Ejemplo 1

Halla el extremo de F(x)=∫₀^x (t−2) dt.

Derivar por el teorema devuelve el integrando.

F'(x) = x − 2

F'(x)=0 ⇒ x=2; el signo va −→+, así que es un mínimo.

F(2) = ∫₀² (t−2) dt = [t²2 − 2t]₀² = −2

▸ mínimo −2

Sin integrar F, puedes juzgar la monotonía primero con F′=f.

Ejemplo 2

Para F(x)=∫₀^x (t²−3t+2) dt, halla F'(1).

Por el teorema F'(x)=f(x), así que sustituye x en t.

Sustituye x=1.

F'(1) = 1 − 3 + 2 = 0

▸ 0

No hace falta integrar F — basta evaluar f(1) directamente.

Resumen

Resultado clave

F(x)=∫_a^x f(t) dt ⇒ F'(x)=f(x), F(a)=0

Deriva para obtener el integrando, 0 en el límite inferior — el inicio de todo problema

Tipo de simulacro KICE 2021 Mat. (Cálculo), adaptado

¿Cuál es el mínimo local de F(x)=∫₀^x (t²−2t) dt?

①−4/3

②−2/3

③0

④4/3

⑤2

▸ ① −4/3

F'(x)=x²−2x=x(x−2)=0 ⇒ x=0, x=2. En x=2 el signo es −→+, un mínimo.

Calcula F(2)=∫₀² (t²−2t) dt = [t³3 − t²]₀².

F(2) = 83 − 4 = −43

🎯 Puntos de examen

①Si F(x)=∫_a^x f(t)dt entonces F'(x)=f(x)

②F(a)=0 (área cero en el límite inferior)

③Los extremos de F están donde f cambia de signo

④Para problemas de extremos, integra de nuevo en ese x para el valor

⑤Si el límite superior es g(x), la regla de la cadena da F'=f(g(x))·g'(x)

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Integral definida

Integral definida y series

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