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Funciones definidas por integrales

Functions Defined by Integrals

Si el límite superior de una integral definida se convierte en una variable x y se mueve, el área con signo acumulada hasta ese momento se vuelve una función de x, F(x). Mientras x recorre un tramo donde f es positiva, se suma área y F crece; donde f es negativa, se resta área y F disminuye. Al derivar esta función área F se recupera el integrando f original: es el teorema fundamental del cálculo. Al mover el límite superior x, el área sombreada y la curva dorada F cambian a la vez: F baja, llega a su valor más bajo en x = 1 y luego vuelve a subir.

El área se acumula y forma una función

1.5
👀 Qué leer en la figura
①F(x) es el área con signo bajo f(t) = t − 1 entre 0 y x
②Para 0 < x < 1, f es negativa, así que se acumula área roja y F decrece
③En x = 1 el signo de f pasa de negativo a positivo, así que F tiene un mínimo relativo, F(1) = −1/2
④Para x > 1 se suma área verde y F vuelve a crecer; en x = 2 las dos áreas son iguales y F(2) = 0
⑤En la franja superior, F′(x) = f(x) es la altura del punto azul, y su signo decide si la curva dorada sube o baja

Al derivar vuelve el integrando

Teorema fundamental del cálculo
ddx ∫ax f(t) dt = f(x)
Con el límite inferior a constante, al derivar respecto del límite superior x se obtiene f(x) tal cual. Si el límite superior es g(x), la regla de la cadena da F′(x) = f(g(x)) · g′(x)
Valor en el límite inferior
F(a) = ∫aa f(t) dt = 0
Si el intervalo tiene longitud 0, el área es 0

Crecimiento, decrecimiento y extremos de F

Crece o decrece
F′(x) = f(x) ⇒ F crece donde f > 0 y decrece donde f < 0
F tiene un extremo donde f(x) = 0 y f cambia de signo

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1
Halla el extremo de F(x) = ∫0x (t − 2) dt.
1
Por el teorema fundamental, al derivar F se obtiene el integrando.
F′(x) = x − 2
2
F′(x) = 0 en x = 2, y el signo pasa de negativo a positivo, así que es un mínimo relativo.
F(2) = ∫02 (t−2) dt = [t22 − 2t]02 = −2
▸ Mínimo relativo −2
Con F′ = f se sabe dónde crece y decrece F sin integrar antes. Solo se integra cuando hace falta el valor en ese x.
Ejemplo 2
Si F(x) = ∫0x (t² − 3t + 2) dt, halla F′(1).
1
Por el teorema fundamental, F′(x) = f(x), así que al cambiar t por x en el integrando se obtiene F′(x).
2
Se sustituye x = 1.
F′(1) = 1 − 3 + 2 = 0
▸ 0
No hace falta hallar F integrando; basta con calcular f(1).

Resumen

Ideas clave
F(x) = ∫ax f(t) dt ⇒ F′(x) = f(x), F(a) = 0
Al derivar se recupera el integrando, y el valor en el límite inferior es 0. La mayoría de los problemas parten de estas dos ideas
Tipo de simulacro KICE 2021 Mat. (Cálculo), adaptado
¿Cuál es el mínimo relativo de F(x) = ∫0x (t² − 2t) dt?
①−4/3
②−2/3
③0
④4/3
⑤2
▸ ① −4/3
1
F′(x) = x² − 2x = x(x − 2) = 0 da x = 0 y x = 2. Alrededor de x = 2 el signo pasa de negativo a positivo, así que es un mínimo relativo.
2
Calcula F(2)=∫02 (t²−2t) dt = [t33 − t²]02.
F(2) = 83 − 4 = −43
🎯 Claves para el examen
①Si F(x) = ∫_a^x f(t) dt, entonces F′(x) = f(x)
②F(a) = 0
③F tiene extremos donde f cambia de signo
④Cuando se pide un valor extremo, se integra hasta ese x para obtenerlo
⑤Si el límite superior es g(x), la regla de la cadena da F′(x) = f(g(x)) · g′(x)
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