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Ecuaciones e inecuaciones

Equations & Inequalities

Ante una ecuación, lo habitual es buscar x calculando, pero con la derivada la ecuación se puede convertir en una sola gráfica. Las raíces reales de x³ − 3x = k son las abscisas de los puntos donde la curva y = x³ − 3x corta a la recta horizontal y = k, así que se pueden contar sin hacer cuentas. Con las inecuaciones pasa lo mismo: basta comprobar que el mínimo de la diferencia entre los dos miembros es mayor o igual que 0. En el dibujo, al subir y bajar la recta y = k se ve que el paso de tres cortes a uno ocurre en el máximo relativo 2 y en el mínimo relativo −2.

Las raíces reales son puntos de corte

0
👀 Qué leer en el dibujo
①Las raíces reales de f(x) = k son las abscisas de los cortes de y = f(x) con y = k
②Si −2 < k < 2 hay 3 cortes; si k > 2 o k < −2, hay 1
③Con k = ±2 la recta toca una cima o un valle y aparece una raíz doble, así que hay 2 raíces reales distintas
④Los valores de k en el cambio son el máximo y el mínimo relativos

Cuántas raíces reales tiene una cúbica

Decidir por el signo de los extremos
(máximo local) × (mínimo local) < 0 ⇒ tres raíces reales distintas
Si el producto es 0 hay una raíz doble y 2 raíces reales distintas; si es positivo, 1

Escribirlo como f(x) = k

Separar la constante
número de raíces de f(x)=k = intersecciones de y=f(x) con y=k
Si k se ve como una recta horizontal que sube y baja, los extremos son donde cambia el número de cortes

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1
Halla el número de raíces reales distintas de x³−3x+1=0.
1
Sea f(x) = x³ − 3x + 1; entonces f'(x) = 3x² − 3 = 0 da x = ±1.
2
El máximo relativo f(−1) = 3 > 0 y el mínimo relativo f(1) = −1 < 0 tienen signos opuestos.
(máx local)(mín local) < 0 ⇒ 3 raíces reales
▸ 3
La cima está por encima del eje x y el valle por debajo, así que la gráfica corta el eje x tres veces. Es la misma situación que k = −1 en el dibujo.
Ejemplo 2
Demuestra que, para x ≥ 0, se cumple x³ − 3x + 2 ≥ 0.
1
Sea g(x) = x³ − 3x + 2; de g'(x) = 3x² − 3 = 0, la raíz con x ≥ 0 es x = 1.
2
Para x ≥ 0 el mínimo de g es g(1) = 1 − 3 + 2 = 0, que es mayor o igual que 0.
minx≥0 g(x) = g(1) = 0 ⇒ g(x) ≥ 0
▸ mínimo 0 ≥ 0, así que se cumple
Una inecuación se demuestra viendo que el mínimo de (primer miembro − segundo miembro) es mayor o igual que 0. Factorizar g(x) = (x − 1)²(x + 2) también muestra que es no negativa para x ≥ 0.

Resumen

Estrategia
conteo de raíces = intersecciones, desigualdad = signo del mínimo
Ecuaciones por el signo de los extremos; inecuaciones por el mínimo
Tipo de simulacro provincial 2022 Mat., adaptado
¿Para qué rango de k tiene x³−3x = k tres raíces reales distintas?
①k < −2
②−2 < k < 2
③k > 2
④k = ±2
⑤todos los reales
▸ ② −2 < k < 2
1
Para f(x) = x³ − 3x, f'(x) = 3x² − 3 = 0 da el máximo relativo f(−1) = 2 y el mínimo relativo f(1) = −2.
2
Para tener tres raíces reales distintas, la recta y = k debe quedar entre el mínimo y el máximo relativos.
−2 < k < 2
🎯 Puntos de examen
①Las raíces reales se cuentan como cortes de gráficas
②El número de raíces reales de una cúbica sale del signo de (máximo)(mínimo)
③Se separa la constante como f(x) = k y se mueve una recta horizontal
④En una inecuación, se demuestra que el mínimo de la diferencia es mayor o igual que 0
⑤Si x está restringida, se mira el mínimo dentro de ese intervalo
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Velocidad y aceleración

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