Ecuaciones e inecuaciones

Equations & Inequalities

Cuando te piden resolver una ecuación, lo normal es buscar la x con cálculos, pero la derivada te deja convertir la ecuación en una sola imagen. Las raíces reales de x³−3x=k son exactamente los puntos donde la curva y=x³−3x se cruza con la recta horizontal y=k, así que puedes contar las raíces a ojo en vez de despejar. Con las desigualdades ocurre lo mismo: basta con comprobar que el valor más pequeño de la diferencia entre ambos lados, es decir su mínimo, se mantiene en 0 o por encima. Desliza la recta horizontal y=k hacia arriba y hacia abajo para ver por qué la frontera donde el conteo salta de una raíz a tres queda justo en el máximo y el mínimo locales.

Las raíces reales son intersecciones

Recta horizontal y = k0

👀 Velo

①Las raíces reales de f(x)=k son las intersecciones de y=f(x) e y=k

②Subir o bajar k cambia el conteo entre 1 y 3

③Las fronteras son los instantes en que pasa por el máximo y el mínimo locales

Contar raíces de una cúbica

Juzgar por el signo de los extremos

(máximo local) × (mínimo local) < 0 ⇒ tres raíces reales distintas

Si el producto es 0, raíz doble (2); si es mayor que 0, solo 1

Separar en la forma f(x)=k

Separación de la constante

número de raíces de f(x)=k = intersecciones de y=f(x) con y=k

Vista como una recta horizontal móvil y=k, los extremos son las fronteras

Resuélvelo directamente

Ejemplo 1

Halla el número de raíces reales distintas de x³−3x+1=0.

f(x)=x³−3x+1, y f'(x)=3x²−3=0 da x=±1.

Máximo local f(−1)=3>0, mínimo local f(1)=−1<0 — signos opuestos.

(máx local)(mín local) < 0 ⇒ 3 raíces reales

▸ 3

Para una cúbica, los signos del máximo y mínimo locales dan el conteo de raíces de inmediato.

Ejemplo 2

Demuestra que x³−3x+2 ≥ 0 para todo x ≥ 0.

g(x)=x³−3x+2, y g'(x)=3x²−3=0 da x=1 dentro de x≥0.

En x≥0 el mínimo es g(1)=1−3+2=0 ≥ 0.

min_x≥0 g(x) = g(1) = 0 ⇒ g(x) ≥ 0

▸ mínimo 0 ≥ 0, así que se cumple

Probar una desigualdad es mostrar que el mínimo de (lado izq.−lado der.) es al menos 0.

Resumen

Estrategia central

conteo de raíces = intersecciones, desigualdad = signo del mínimo

Ecuaciones por el signo de los extremos, desigualdades por el mínimo — ambas con derivadas

Tipo de simulacro provincial 2022 Mat., adaptado

¿Para qué rango de k tiene x³−3x = k tres raíces reales distintas?

①k < −2

②−2 < k < 2

③k > 2

④k = ±2

⑤todos los reales

▸ ② −2 < k < 2

f(x)=x³−3x, y f'(x)=3x²−3=0 da máximo f(−1)=2, mínimo f(1)=−2.

Tres raíces exigen que la recta y=k quede entre el mínimo y el máximo locales.

−2 < k < 2

🎯 Puntos de examen

①Reduce las raíces de la ecuación a intersecciones de la gráfica

②El conteo de una cúbica sale del signo de (máx)(mín)

③Para f(x)=k, separa la constante y mueve una recta horizontal

④Para inecuaciones, muestra que el mínimo de la diferencia ≥ 0

⑤Con dominio restringido, usa el mínimo en ese intervalo

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Velocidad y aceleración

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