Un divisor de un número lo divide sin dejar resto, y un múltiplo de un número es ese número tomado 1, 2, 3 o más veces.
Los divisores de 12 se acaban en seis números, 1, 2, 3, 4, 6 y 12, pero los múltiplos de 12 siguen sin fin: 12, 24, 36…
El mayor de los divisores que comparten dos números es su máximo común divisor (MCD), y el menor de los múltiplos que comparten es su mínimo común múltiplo (mcm).
Elige dos números abajo y los dos dibujos te mostrarán los divisores que comparten y el primer múltiplo en el que coinciden.
Divisores y múltiplos
Los divisores y los múltiplos resuelven dos tipos de problemas cotidianos: repartir y hacer coincidir. Para repartir 12 caramelos y 18 bombones en partes iguales sin que sobre nada, el número de niños tiene que dividir a las dos cantidades, es decir, tiene que ser un divisor común, y el mayor número de niños posible es el MCD, 6. Al revés, si un autobús sale cada 12 minutos y otro cada 18, y acaban de salir juntos, volverán a salir juntos en cada múltiplo común, y la primera vez será a los 36 minutos, el mcm. Si antes de empezar decides si el problema trata de repartir o de volver a coincidir, sabrás si buscas divisores o múltiplos.
🍰 Si se reparte en partes iguales, es un divisor
①Si repartes 12 trozos de pastel entre 3 personas, a cada una le tocan 4. Como 12 ÷ 3 = 4 sin resto, 3 es divisor de 12 y 12 es múltiplo de 3
②Los únicos números que dividen exactamente a 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12, así que 12 tiene seis divisores
③El 1 y el propio número siempre son divisores. Si buscas los divisores por parejas cuyo producto es el número, como 1 × 12, 2 × 6 y 3 × 4, no se te escapa ninguno
Divisores comunes y MCD
12
18
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Divisores de 12 y de 18 superpuestos en un diagrama de Venn
El círculo azul contiene los divisores del primer número y el naranja los del segundo. Los números verdes escritos donde se solapan son los divisores comunes, los que comparten ambos. Con los valores iniciales 12 y 18, a la izquierda quedan solo 4 y 12, a la derecha solo 9 y 18, y en el centro están 1, 2, 3 y 6. Abajo aparece el mayor de ellos, 6, como máximo común divisor: es el número más grande que divide exactamente a 12 y a 18. El 1 divide a cualquier número, así que siempre está en el centro, y cuando un número es divisor del otro, todos los divisores del menor pasan a la zona común.
🔍 Divisores comunes y MCD
①Los divisores que comparten dos números se llaman divisores comunes; en el diagrama de Venn son los números de la zona superpuesta
②El mayor de ellos es el máximo común divisor (MCD)
③Todos los divisores comunes son divisores del MCD: los divisores comunes de 12 y 18, que son 1, 2, 3 y 6, son justo los divisores de 6
Múltiplos comunes y mcm
El error más frecuente es confundir el MCD con el mcm. Un divisor nunca es mayor que su número, así que el MCD nunca supera al menor de los dos números; un múltiplo nunca es menor que su número, así que el mcm nunca es menor que el mayor de los dos. Si con 12 y 18 te sale un MCD de 36, mayor que 18, o un mcm de 6, menor que 12, los has intercambiado. Al terminar, comprueba que 12 × 18 = 216 es igual a MCD × mcm = 6 × 36 = 216; así también encuentras errores de cálculo.
↔️ Los mismos dos números, ahora con múltiplos
Los dos números que elegiste arriba también mueven las rectas de abajo. La fila de arriba muestra múltiplos del primer número y la de abajo múltiplos del segundo, con la misma escala, y una línea verde discontinua une el primer valor que coincide en las dos filas.
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Múltiplos de 12 y de 18 en rectas con la misma escala
🎯 Múltiplos comunes y mcm
①Los múltiplos que comparten dos números se llaman múltiplos comunes, y el menor de ellos es el mínimo común múltiplo (mcm)
②El punto verde donde las dos filas llegan por primera vez al mismo valor es el mcm; para 12 y 18 es 36
③Todos los múltiplos comunes son múltiplos del mcm, así que siguen 36, 72, 108…
④El producto de dos números es igual al producto de su MCD y su mcm: 12 × 18 = 216 = 6 × 36
Resumen
Divisores y múltiplos
Si A × n = B, entonces A es divisor de B y B es múltiplo de A
3 × 4 = 12, así que 3 y 4 son divisores de 12, y 12 es múltiplo de 3 y de 4
MCD y mcm
A × B = MCD(A, B) × mcm(A, B)
12 × 18 = 216 y 6 × 36 = 216
🎯 En resumen
①Divisor: número que divide exactamente a otro, y hay una cantidad limitada
②Múltiplo: el número tomado 1, 2, 3 o más veces, y no se acaban nunca
③MCD: el mayor divisor común
④mcm: el menor múltiplo común
⑤Producto de dos números = MCD × mcm
Ejemplos y prueba de unidad
Ejemplo 1
Halla todos los divisores de 12.
1
Busca parejas de números cuyo producto sea 12: 1 × 12, 2 × 6 y 3 × 4.
2
Ordena los números de esas parejas: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
▸ 1, 2, 3, 4, 6, 12
Después de 3 × 4, la siguiente pareja empezaría por 4, que ya tienes, así que puedes parar ahí.
Ejemplo 2
Halla el MCD de 12 y 18.
1
Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12; los de 18 son 1, 2, 3, 6, 9 y 18.
2
Los números que están en las dos listas son 1, 2, 3 y 6, y el mayor es 6.
▸ 6
Es el valor inicial del primer dibujo: en el centro están 1, 2, 3 y 6, y abajo aparece el MCD, 6.
Prueba de unidad
¿Cuál es el mcm de 4 y 6?
①2
②12
③24
④10
▸ ② 12
1
Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16… Múltiplos de 6: 6, 12, 18…
2
El primer número que aparece en las dos listas es 12, así que el mcm es 12.