공통수학›집합·명제·함수

무리함수

Irrational Function

무리함수는 어디서 왔을까?
📐 정사각형의 한 변 구하기
①넓이가 S인 정사각형의 한 변의 길이는?
②한 변 = √S — 넓이의 제곱근!
③넓이 1 → 변 1, 넓이 4 → 변 2, 넓이 9 → 변 3
④그런데 넓이 2 → 변 √2 ≈ 1.414… (무리수!)
⑤이처럼 제곱근이 포함된 함수가 '무리함수'
🪞 역함수 관계의 핵심
①y = x² (x≥0)에서 x와 y를 바꾸면
②x = y² → y = √x (양의 값만 취함)
③y = √x는 y = x²의 '절반'의 역함수
④두 그래프는 y = x 직선에 대해 대칭
⑤이것이 무리함수의 '정체' — 이차함수의 역!
기본형 y = √x의 성질
기본 무리함수
y = √x
정의역: x ≥ 0 / 치역: y ≥ 0 / 원점 출발

y = √x 핵심 성질

📋기본형의 특징
정의역
근호 안이 0 이상이어야 하므로
x ≥ 0
치역
제곱근은 항상 0 이상
y ≥ 0
증가/감소
x가 커질수록 y도 커짐 (단, 점점 완만)
항상 증가
증가 속도
1→4: y 1 증가 / 4→9: y 1 증가 / 간격 넓어짐
점점 느려짐
일반형 y = √(ax + b) + c
1
0
0
일반형 무리함수
y = √(ax + b) + c
시작점: (−b/a, c) → a > 0이면 오른쪽, a < 0이면 왼쪽으로 뻗음
🔑 시작점을 빠르게 찾는 법
①근호 안 = 0인 x 찾기: ax + b = 0 → x = −b/a
②이때 y = √0 + c = c
③시작점은 (−b/a, c)
④a > 0이면 x ≥ −b/a (오른쪽으로 증가)
⑤a < 0이면 x ≤ −b/a (왼쪽으로 증가)
무리함수와 직선의 교점
교점 구하기
√(ax+b) + c = mx + n → 양변 제곱 후 판별
양변 제곱 시 '무연근' 검증 필수!
⚠️ 양변 제곱의 함정 — 무연근
①√x = x − 2를 풀기 위해 양변 제곱
②x = (x−2)² = x²−4x+4 → x²−5x+4=0
③x = 1 또는 x = 4
④검증: x=1 → √1 = 1, 1−2 = −1 → 1 ≠ −1 (무연근!)
⑤x=4 → √4 = 2, 4−2 = 2 → 2 = 2 ✓ (참 해)
⑥양변 제곱은 부등호 정보를 잃으므로 반드시 원래 식에 대입 검증!

교점 풀이법

📊무리방정식 해법 순서
단계내용주의점
1단계√ 부분을 한쪽으로 정리√(…) = (식)
2단계양변 제곱(식) ≥ 0 조건 확인
3단계정리하여 방정식 풀기이차방정식이 됨
4단계원래 식에 대입 검증무연근 반드시 제거!
총정리
기본형
y = √x
정의역 x≥0, 치역 y≥0
일반형
y = √(ax+b)+c
시작점 (−b/a, c)
🎯 시험 포인트
①근호 안 ≥ 0 → 정의역의 핵심 조건
②시작점 (−b/a, c): a > 0이면 오른쪽, a < 0이면 왼쪽
③y = √x는 y = x² (x≥0)의 역함수 — y = x에 대칭
④무리방정식: 양변 제곱 후 반드시 원래 식에 대입 검증 (무연근!)
⑤그래프 개형: 시작점에서 출발하여 점점 완만하게 증가