PV图 边界功

先感受功是怎么来的。气缸里的气体推着活塞，把体积拉大让气体膨胀，活塞被往外推，同时做功。作用在活塞上的力是压力乘面积，那个力把活塞挪动一点，就积下那么多功，画面上的功条涨起来就是这个。核心是气体增大体积的时候对外面的世界做功。汽车发动机用爆发的气体推活塞带动轮子，气球鼓起来推开周围的空气，都是这份膨胀功。反过来把活塞死死按住不让它动，气体推得再狠，推出去的距离是 0，功一点也不产生。

现在把那份功精确地数出来。压力并不恒定，膨胀的时候会变，可是在极短的一段里可以看成几乎恒定。那段的功是压力乘那段的体积变化，也就是一根细长方形的面积。用滑块把体积从 V1 加到 V2，细棒一根一根加上，功就积起来。这些切细的棒全部相加就是积分，所以边界功写成 W = ∫P dV。压力变不变，都是把每一瞬间的压力乘那一瞬间的体积变化，一路加起来，那就是气体做的功。棒切得越细，台阶就越贴着真实的曲线，在切到无限薄的极限里，这个和精确地靠近曲线下面的真实面积。

把切开的棒全部加起来，归根是求曲线下面的面积，所以在 P-V 图上，边界功就是曲线和横轴之间的面积。最单纯的情形是把压力保持一定来膨胀，用滑块调节压力，功就是长方形面积 W = P (V2 − V1)。压力越高，同样的体积变化面积越大，功就越大，理想气体在一定压力下加热膨胀，正好是这个情形。看成面积，功的大小一眼就进来，窄而高的长方形和宽而矮的长方形可以做出同样的功，不是压力或体积变化单独一个，而是两者相乘的面积决定功。

现在是核心。从同一个起点到同一个终点，路也可以有好几条，用按钮切换两条路径，一条先保持高压力膨胀，另一条先把压力降下来再膨胀。两条曲线下面的面积明显不同，起点和终点相同，做的功却不同。所以功不是状态量，只看现在的状态不知道，必须知道经过了哪个过程。比如让理想气体在温度一定时膨胀，压力和体积的乘积保持一定，是一条光滑曲线，那块面积又不一样。路不同面积就不同，面积不同功就不同。热机正是用这份路径依赖，在高压力下膨胀抽出大的功，在低压力下回去只还回小的功，把差额当成每一圈的净功收下来。

最后是符号的约定。用滑块把体积挪到起点的左边和右边，体积增大的膨胀里，气体对外做功，约定功为正。体积减小的压缩里，外面给气体做功，功是负的。在中间的基准线符号正好翻转。这个约定和下一讲要遇到的热力学第 1 定律成对。气体做的功是正，气体接受的功是负，所以像发动机那样气体膨胀把功送出去的装置处理正功，像压缩机那样把气体压进去的装置处理负功。下一讲把这份功和热捆在一起，接到能量守恒，也就是第 1 定律。把自行车打气筒快速压下去压缩空气，在功变成负的这次压缩里，外面交给气体的能量积在里面，打气筒变暖，用手就能感到。