刚体的平衡：合力为零，合力矩也为零
质点是一个点，所以只要合力为零就静止。可桥、起重机、桌子这种有大小的物体，也就是刚体，情况就不同了。哪怕力是平衡的，只要它们组成一个力偶去拧，物体就会原地打转。所以刚体要真正静止，需要同时满足两件事：既不被左右、上下推动，也不向任何一边转动。用方程说，就是合力为零，而且合力矩也为零。在平面里，这两个条件正好化成三条方程。这三条方程，是计算桥墩向上托起的力这类看不见的反力的钥匙。我们先从力平衡、物体却照样转的情形看起。
一个矩形刚体受到大小相等、方向相反的两个力。看力的和：恰好为零。若是质点，这就算平衡了。可你按一下按钮，把两个力错开、不在同一条线上。合力仍然为零，物体却开始打转。因为出现了力偶，力矩不再为零。力是平衡的，转动却不平衡。反过来，把两个力放在同一条作用线上，力矩也归零，物体就彻底停住。所以刚体要多加一个条件：不仅合力为零，连合力矩也要为零，才算平衡。
所以刚体平衡的条件是两行。第一，所有力的向量和为零，这表示物体不向任何方向平移。第二，所有力矩的和为零，这表示无论你取哪个点为基准，物体都不转动。中间的荷载 P 由两个支座托着。调节两个反力 R1 和 R2，把上面的力表和下面的力矩表同时调到零。只有一个为零还不行：只有力为零就会原地倾斜，只有力矩为零就会整体滑走。两个都为零，且只有此时，刚体才真正静止。
把用向量写的两个条件，在平面里按分量解开，变成三条标量方程。合力为零分成横向和纵向，给出 ΣFx = 0、ΣFy = 0 两条；合力矩为零给出 ΣM = 0 一条。合起来正好三条。拖动斜向荷载的角度，销和滚轴产生的三个反力会跟着移动，始终满足这三条方程。方程有三条这一点非常重要：它意味着你恰好能解三个未知量。质点有两条方程、两个未知量，而刚体多出一条转动方程，能应付三个未知量。列力矩方程的基准点取在哪里都行，但选一个有许多未知力通过的点，方程会更简单。
现在来看三条方程真正的威力。一根简支梁搁在两个支座上，荷载 P 不放在正中，而是偏向一侧。两个支座向上托起的力，也就是反力 R1 和 R2，是多少呢？平衡方程一下就给出来。以左支座为基准把力矩之和置零，通过该点的 R1 从方程里消失，R2 一步就解出。再由竖直力之和为零求出 R1。拖动荷载的位置看看。P 越靠近哪个支座，那一侧的反力就越大。和跷跷板完全一个道理：把重物堆到一边，那条腿就承担得更多。
最后，记住三条方程只能解三个未知量这一极限。把支座产生的未知反力的个数，和方程的个数三相比较。用按钮改变支座的配置。用销和滚轴支起的简支梁有三个未知量，所以三条方程能干净地解出，这叫静定。把两端都设成销，就有四个未知量，方程不够用。这叫超静定：光靠平衡方程解不了，还得考虑材料怎样变形。反过来，支座太少、未知量在两个或以下，物体就会动起来，成了不稳定的结构，也就是机构。良好结构设计的起点，正是这个数目的匹配。