从样本算出的量本身也是随机的
抽一个样本、求它的平均，就得到一个数。换一个样本，就得到另一个数。也就是说，从样本算出的统计量，这里是样本均值本身，是每次抽样都在跳动的随机变量。这种跳动也有规律。样本均值可能取到的那些值的分布，叫做抽样分布，而这个分布的宽度叫做标准误。如果说工程数学的 normal-clt 让你看到把许多值相加会变成钟形，那么这里我们问一个更尖锐的问题：均值本身在样本之间散得有多开，以及样本增大时这份散布如何缩小。关键公式只有一个：标准误等于 σ 除以 √n。这一行就能解释：为什么民意调查只问几千人就够，为什么实验要重复许多次，以及每个估计值旁边那个 ± 是从哪里来的。
按下按钮，重新抽一个样本。即便每个样本都来自同一总体、大小同为 n，它的均值 x̄ 每次也略有不同。抽一次是一个点，再抽一次又是一个点，就这样把样本均值不断堆进直方图，起初参差不齐，渐渐落定成一个中间鼓起的小丘。这个越堆越高的分布，正是抽样分布，是样本均值这个统计量为自己画出的分布。要点在于：我们要测的对象（总体均值）是固定的，而用来估计它的工具（样本均值）却在摇摆。弄清这份摇摆的形状与宽度，就是本讲的全部。
现在把两个分布并排看。宽宽铺开的灰色，是单个原始数据散布的样子，它的宽度就是总体标准差 σ。在它上方细细耸起的蓝色分布，是大小为 n 的样本均值散布的样子，紧紧地向中央聚拢。因为求平均时大值和小值互相抵消，均值比任何单个值都稳得多。这个窄窄的宽度就是标准误，它虽和标准差 σ 名字相近，却是完全不同的量：σ 讲的是个体之间差多少，标准误讲的是这些个体的平均有多不可靠。拖动 n 增大，看灰色纹丝不动，而只有蓝色越来越窄。
现在用一个精确的公式把这份宽度钉牢：标准误等于 σ 除以 √n。要害在于分母里是 √n，而不是 n 本身。拖动 n 增大，标准误沿曲线下滑，起初陡降，越往后越平缓。要把标准误减半，得把 n 增到四倍；要把误差降到十分之一，得多收集一百倍的样本。正因这道 √n 的墙，越想提高精度，代价越大。所以过了某个点，改进测量本身，胜过再多收样本。数据当然越多越好，但明白这份回报只按 √n 的速度增长，才是实战的判断力。
到此为止总体一直是钟形，可以说我们手下留情了。那要是一个明摆着偏向一侧的分布呢？这里的指数分布挤在 0 附近，向右拖着一条长尾，一点也不对称。n 等于 1 时，样本均值的分布就是这偏斜的原样。可一旦拖动 n 增大，惊人的事发生了。无论源多么扭曲，样本均值的分布都稳步趋向左右对称的钟形，恰好贴合金色的正态曲线。这就是中心极限定理在抽样分布上的样子。若说 normal-clt 让你看到把值相加会成钟，那么这里你看到的是：把那个和除以 n 得到的均值，其分布无论原样如何，都收敛到 N(μ, σ/√n)。所以即使不知道总体的形状，单单样本均值也能当作正态来处理。
最后，把样本大小对抽样分布的作用直接叠起来看。灰色是小样本（n=4）的均值分布，铺得很宽。蓝色是你用滑块设定的大 n 的均值分布。n 越往上推，蓝色就越高越窄地耸起，向真均值周围收拢。两个分布的中心都在同一个 μ 上重合，只有宽度按 σ/√n 的速度缩小。这在实战中的含义很明确：样本越大，我们的估计值就越常落在离真值更近的地方，也就是估计越精确。民意调查、临床试验、质量抽检增大样本量，正是为了这幅图。不过正如第 3 讲所示，这份回报只按 √n 增长，所以到底缩到多窄才够，总要和成本权衡。