最贴合散点云的那条直线
测量值从不会精确地落在一条直线上。身高与体重、学习时间与考试成绩、气温与冰淇淋销量：这些点四散分布，然而趋势就藏在这团云里。相关系数 r 用一个数字说明这些点与一条直线贴合得有多紧，而最小二乘法画出让纵向偏离的平方总和尽可能小的那一条直线。我们从这条直线读出斜率，用 R² 追问它解释了多少散布，最后检验这个斜率是真实的还是仅仅是噪声。这与工程数学中投影与最小二乘那一讲是完全相同的代数，只是观察的透镜不同：那里我们把一个向量投影到列空间，这里我们把一条直线拟合到带噪声的数据，并追问它让我们能推断出什么。
抓住任意一个点并拖动它。相关系数 r 会立即更新。当这些点一同向上排列时，r 靠近 +1；当 x 越大 y 越小时，r 朝 -1 移动；当云团圆而无向时，r 停在 0 附近。r 只衡量线性关联，别无其他：它不在乎单位，也永远不会离开 -1 到 +1 的范围。
对于一团固定的点，试着用斜率和截距滑块亲手放置一条直线。仪表跟踪 SSE，也就是每个点与你的直线之间纵向间隔的平方之和。把直线推来推去，仪表就会上升；能把这个值压到最低的斜率与截距只有一组。那个最低点就是最小二乘拟合，按下对齐按钮就会径直跳到那里。最佳拟合意味着平方误差最小，而不是误差为零。
每个残差都是剩余量，即实际的 y 减去预测的 ŷ 的纵向间隔。把它们平方相加得到 SSres，也就是直线仍然偏离的程度。再把它与只用那条水平的平均线时的偏离 SStot 相比较。两者之比给出 R² = 1 - SSres / SStot，即上下起伏的变动中被这条直线解释的份额。在平均基准线与拟合直线之间切换，看着剩余量不断缩小。
从一条干净的直线出发，注入噪声。随着滑块加大散布，同一条底层趋势被掩埋，r 从接近 1 滑向 0。关系本身没有改变，改变的是我们看见它的能力。强相关不在于斜率有多陡，而在于这些点偏离直线有多少。
从数据测得的斜率只是一个估计，所以我们用置信区间把它包裹起来。当点很少或噪声很大时，区间会很宽，可能跨越零，这意味着趋势也许只是巧合。多收集一些点，区间就会收紧；一旦它完全离开零，我们就称这个斜率具有统计显著性。拖动样本量，看着区间向真实斜率收拢。