大数定律

把硬币的正面数成 1、反面数成 0，期望就是 E[X] = 0.5。骰子的话，点数的平均是 E[X] = 3.5。把投掷次数加大，到那时为止的累计平均就被画出来。开头几次晃得很厉害，次数一大，曲线就贴到虚线标出的期望上。用的是同一个种子，所以什么时候打开，路径都一样。晃动渐渐平息。

往正方形 [0,1]×[0,1] 里胡乱扔飞镖。落在原点为心、半径为 1 的四分之一圆里的飞镖比例，收敛到 π/4。所以把落在里面的比例乘上 4，就得到圆周率的估计。把飞镖个数加大，点就变密，估计值就收向 3.14159。用随机样本量面积，这个做法是蒙特卡罗积分的种子。点在量面积。

抽得更多确实会变好，可是变好有多快。把估计误差对次数画出来，误差大约以 1/√n 的速度减小。要把误差减半，样本就得加到四倍。把辅助线在 1/√n 和 1/n 之间切换，实际的误差跟的是慢的 1/√n，不是快的 1/n。精度很贵，这件事在这里显出来。慢的那一侧才是实际的速度。

再走一步，收敛的不只是一个平均。样本的整张直方图都朝总体的概率密度曲线靠近。个数小的时候柱子高低不平，个数加大，柱子的轮廓就叠到光滑的密度曲线上。钟形和均匀的形状换着来核对。这就是用直方图读分布形状的根据。柱子渐渐像上曲线。

明明是随机的，为什么总是同一张图。我们的随机数是由一个种子定下的决定性数列，同一个种子就重做出同一条路径。换一个种子，开头的晃动各不相同，可是所有路径最终都聚到同一个期望 0.5。随机性让路径不同，大数定律让目的地相同。所以实验可以再现，同时又给出普遍的结论。路不同，尽头相同。