抽得越多，平均值越靠近期望值
把硬币抛几次，正面的比例上下跳动，但抛上几千次，它就稳定在 0.5 附近。样本收集得越多，样本平均越靠近真正的期望值 E[X]，这个性质就是大数定律。反过来用这条定律，就能用随机样本估计难以直接算出的数，这就是蒙特卡罗方法。在五幅图里，我们依次看到平均值收敛、用飞镖估计圆周率 π、误差按 1/√n 缩小的速度、直方图长成密度曲线，以及不同的种子共享同一个极限。
把掷硬币的正面记为 1、反面记为 0，期望值就是 E[X] = 0.5；若是骰子，点数的平均是 E[X] = 3.5。用滑块增大投掷次数 n，到当前为止的累积平均就被画出来。最初几次上下大幅摆动，但 n 越大，曲线越紧贴虚线标出的期望值。因为使用固定的种子，每次打开都得到相同的路径。
把飞镖撒满正方形 [0,1]×[0,1]。落在以原点为中心、半径为 1 的四分之一圆内的飞镖比例，会收敛到它的面积 π/4。所以把内部比例乘以 4，就得到 π 的估计值。增大飞镖数 n，点变得密集，估计值向 3.14159 收紧。用随机样本测量面积的这种做法，正是蒙特卡罗积分的种子。
抽得多确实变好，但有多快呢？把估计误差 |估计值 - 真值| 对 n 画出来，误差大约以 1/√n 的速度缩小。这意味着要把误差减半，就得把样本增加到四倍。把参考线在 1/√n 与 1/n 之间切换：真实误差跟随缓慢的 1/√n，而不是快速的 1/n。这说明精度是很昂贵的。
再进一步，收敛的不只是平均值。n 个样本的整幅直方图，都在向总体的概率密度曲线靠拢。n 小时柱子参差不齐，n 增大时柱子的轮廓就贴合到平滑的密度曲线上。在正态分布与均匀分布之间切换来验证。这正是能用直方图读出分布形状的依据。
既然是随机的，为什么每次都回到同一幅图？我们的随机数是由一个种子确定的确定性数列，所以相同的种子会重建相同的路径。换一个种子，开头的摆动各不相同，但所有路径最终都汇聚到同一个期望值 0.5。随机性让路径不同，大数定律让终点相同。所以实验既可复现，又能给出普适的结论。