圆轴扭转
汽车的传动轴，用螺丝刀拧紧的螺钉，发电机的转轴。它们不是被拉开，而是被扭转。把轴一扭，里面会发生什么。前面的拉伸故事几乎原样重复，只有一个决定性的差别。扭转里，应力随位置而不同。中心几乎不动，外表面扭得最厉害，所以切应力按半径成正比地增大。τ = TρJ 说的就是这件事。扭转角是 φ = TLGJ，和 B1 的 δ = PLAE 只换了字母，是一对双胞胎。对半径的这一种依赖，甚至解释了为什么沉重的轴可以把里面掏空。
先看扭转是什么。固定一端，在另一端加上扭矩 T 去扭，截面就彼此转动。固定的一端不动，自由的一端转得最多，两端转动之差就是扭转角。表面上画长的直线，越扭越歪成螺旋。要紧的是，截面本身仍保持平整，圆的形状也保持原样。圆形截面只在原地转动，既不弯也不皱。因为有这个干净的性质，扭转才收成一个很简单的公式。
现在是核心的洞察。截面整个转动，意思是离中心越远，动得越多。即使转过同样的角度，半径越大的点，弧长也越长。所以切应变与半径成正比。中心处应变是 0，表面处最大。把扭转加大，中心线仍平躺着，越靠外的竖线倾斜得越陡。这就是扭转的全部。变形沿半径线性铺开。拉伸时整个截面同样伸长，扭转却随位置而不同，正是这个差别决定了接下来的应力分布。 位置决定接下来的分布。
切应变与半径成正比，按胡克定律 τ = G·γ，切应力也与半径成正比。中心为 0，表面最大。写成式子是 τ = TρJ。T 是扭转扭矩，有你要看的那个位置的半径，J 是截面的极惯性矩，一个几何量。J 占着拉伸里面积 A 的位置，可是有差别。A 只是面积，J 是把面积乘上半径的平方再积分，所以靠外的材料贡献大得多。移动 T，应力分布中间低、表面高，像三角形那样线性变大。所以扭转的破坏总是从表面开始。 破坏从表面开始。
现在看轴整体转过多少，也就是扭转角。φ = TLGJ。把它和 B1 的 δ = PLAE 并排放，对应就看见了。力 P 的位置换成扭矩 T，长度 L 不动，面积 A 的位置换成极惯性矩 J，杨氏模量 E 的位置换成剪切模量 G。完美的一一对应。扭矩越大、轴越长，扭得越多；GJ 越大，扭得越少。所以把 GJ 叫作扭转刚度。移动 T，自由端就转过那个角度。拉伸里杆子是弹簧，被扭转的轴就是给了扭矩就用角度来回应的扭转弹簧。
最后是实务里最有用的结论。应力和变形在中心附近都几乎是 0。中心的材料几乎不承担扭转，只占着重量。那么把里面掏空会怎样。移动内径，把里面挖掉。重量按半径的平方很快下降，刚度 J 按半径的四次方，下降得很慢。所以中间掏掉不少，扭转刚度仍几乎保持原样，而单位重量的效率大幅上升。自行车车架、传动轴、高尔夫球杆都是空心管，原因就在这里。同样的重量更硬，或者同样的刚度更轻。这是扭转依赖半径所给的礼物。