扭转轴，剪应力随半径增大
汽车的传动轴、用螺丝刀拧的螺钉、发电机的转轴。它们不是被拉，而是被扭。扭转一根轴时，内部会发生什么？前面看过的拉伸故事几乎原样重演，只有一个决定性的差别：在扭转里，应力随位置而变。中心轴几乎不动，外表面扭得最厉害。剪应力随半径成正比地增大。τ = TρJ 说的正是这个。而扭转角是 φ = TLGJ，是 B1 的 δ = PLAE 只换了字母的孪生。这一条半径依赖，甚至能解释为什么可以把沉重的轴挖空。
先看扭转是什么。固定一端，在另一端施加扭矩 T 来扭。于是各横截面相对转动。固定端不动，自由端转得最多。两端转动之差就是扭转角 φ。看表面上画的那条直线：越扭，它越斜成螺旋。关键是，横截面本身保持平整，圆形也不变。圆截面只是原地转动，不翘曲、不变形。正是这个干净的性质，让扭转归结成一个很简单的公式。
现在是核心洞见。整个截面转动，意味着离中心越远，点动得越多。转过同样的角度，半径大的点划过的弧更长。所以剪应变 γ 与半径 ρ 成正比：中心轴为 0，表面最大。在小部件里把扭转加大。中心线一直平躺，越靠外的纵线倾斜得越陡。这就是扭转的全部：应变沿半径线性分布。拉伸时整个截面均匀伸长，而扭转随位置而变。正是这个差别，决定了接下来的应力分布。
如果剪应变与半径成正比，那么由胡克定律 τ = G·γ，剪应力也与半径成正比：中心为 0，表面最大。写成公式就是 τ = TρJ。这里 T 是扭矩，ρ 是你关心位置的半径，J 是截面的极惯性矩这个几何量。J 占了拉伸里面积 A 的位置，但有区别。A 只是面积，而 J 是面积乘以半径平方再积分，所以外侧材料贡献大得多。拖动 T 看看。应力分布中间发蓝、表面发红，像三角形一样线性增大。所以扭转破坏总是从表面开始。
现在看整根轴转多少，也就是扭转角 φ。它是 φ = TLGJ。把它和 B1 的 δ = PLAE 并排看。力 P 的位置换成扭矩 T，长度 L 不变，面积 A 的位置换成极惯性矩 J，杨氏模量 E 的位置换成剪切模量 G。完美的一一对应。扭矩越大、轴越长，扭得越多；GJ 越大，扭得越少。所以把 GJ 叫扭转刚度。拖动 T，自由端就转过 φ。就像拉伸里杆是弹簧一样，扭转的轴是一根扭转弹簧，你给扭矩，它用角度回应。
最后，是实务里最有用的结论。应力和应变在中心附近都几乎为 0。中心材料几乎不抵抗扭转，却只占重量。那把里面挖空会怎样？拖动内半径把芯挖掉。重量按半径平方快速下降，但刚度 J 按半径四次方缓慢下降。所以把中央挖掉相当一部分，扭转刚度仍几乎不变。单位重量的效率猛涨。自行车车架、传动轴、高尔夫球杆都是空心管，原因就在这里：同样的重量更硬，或同样的刚度更轻。这是扭转的半径依赖给的礼物。