主应力
在 D1 里转动单元时，正应力和切应力一起起伏。那次起伏里有一个非常特别的角。切应力正好变成 0 的角。那个面叫作主应力面，上面的正应力叫作主应力。正是在那个角上，正应力变得最大。最大的主应力 σ1 和最小的 σ2，这两个数就是一点必须承受的应力的两端。复杂起伏的应力状态，最终收成这两个值。从那里正好转过 45 度，切应力达到最大，那就是最大切应力。这一讲把那次起伏收成公式，并一直讲到材料为什么沿那个方向破坏。面的方向一变，承受的值也跟着变。 方向一变，承受的值也变。
先定主轴在哪里。主应力面是切应力为 0 的面，所以把变换式的 τ′ 放成 0，解出角度就行。于是得到 tan2θp = 2τxy(σx−σy)，这个角就是主轴的方向。要紧的是，主轴不是固定的，它随应力状态一起转。把剪切加大，主轴就越来越斜；剪切是 0，主轴就只是原来的 x、y 轴。主轴是那个应力状态自己选定的自然方向。把一点的应力看得最简单的坐标，切应力消失、只剩下推和拉的方向。 没有剪切的那个方向，就是这一点的主轴。
现在是主应力的值。把主角代进变换式整理，会得到干净得让人吃惊的形式。σ1,2 = (σx+σy)2 ± R。以平均 (σx+σy)2 为中心，向两边各张开半径 R 的两个值。这里 R = √(((σx−σy)/2)² + τxy²)。移动剪切，平均不动，R 变大，σ1 和 σ2 就从平均向两边离开。这也说得通。剪切大，那一点的应力状态就更凶，主应力的宽度也跟着变宽。这个平均 ± 半径的结构，是不是在哪里见过。以一点为中心、离开一个半径的两个点，这就直通下一讲的莫尔圆。 宽度越大，那一点就越凶。
找到主应力面，最大切应力面就白得了。因为它永远正好离主应力面 45 度。左边是主应力单元。没有剪切箭头，只有 σ1 和 σ2 在推拉两个面。右边是从那里转过 45 度的最大切应力单元，这里有大的剪切箭头，两面的正应力都等于平均 (σx+σy)2。那个最大切应力的大小是 τmax = R = (σ1−σ2)2，也就是把主应力的宽度对半切开。移动剪切，两个单元一起长大。一点的应力有两张脸。切应力消失、正应力走到极端的主应力面，以及转过 45 度、切应力走到极端的最大切应力面。
这件事为什么要紧，接到破坏上就清楚了。每种材料的弱点不同。粉笔或铸铁这样的脆性材料，弱在拉力，也就是正的拉伸。所以它垂直于最大主应力 σ1 裂开，拉伸试样就横着轴折断。钢这样的延性材料，先向滑动、也就是剪切屈服。所以它沿着最大切应力面，也就是从主应力面倾斜 45 度的面，边滑边断。用按钮切换两者，同样的拉伸，破裂面的方向却完全不同。所以主应力 σ1 和最大切应力都得求。哪一个危险由材料决定，脆性就拿 σ1 去比限度，延性就拿最大切应力去比。 先看材料弱的一侧。
最后把全部收在一页上。给出三个应力，先求半径 R = √(((σx−σy)/2)² + τxy²)。于是主应力是 σ1,2 = (σx+σy)2 ± R，主角是 tan2θp = 2τxy(σx−σy)，最大切应力是 τmax = R。这四行就把一点的应力状态完全解开。移动剪切，看四个值怎样一起动，就会露出 R 是把一切捆起来的核心。R 变大，主应力的宽度和最大切应力一起变大。这些公式靠背来用，会在符号和角度上出错。所以下一讲把这四行整个换成一幅图，也就是莫尔圆。以平均为中心、半径为 R 的圆上，所有变换都只是转动。 四行把一点的答案收在一起，方向和大小都在里面了呀。