剪切为零的面上的正应力就是主应力
在 D1 里你看到转动单元时 σ 和 τ 一起摆动。其中有一个非常特别的角：剪应力 τ 恰好为 0 的角。那个面叫主平面，作用其上的正应力叫主应力。为什么重要？因为在那个角，正应力达到最大值。最大主应力 σ1 和最小主应力 σ2，这两个数就是该点要承受的应力的两个极端。复杂摆动的应力状态，最终压缩成这两个值。而从那里恰好转 45 度，剪切达到最大，那就是 τmax。这一讲我们把主应力、主角和最大剪切整理成干净的公式，并一路连到材料为何沿那个方向破坏。
先定下主轴在哪。主平面是剪切为 0 的面，所以把变换式里的 τ′ 置 0 求角即可。于是得到 tan2θp = 2τxy(σx−σy)。这个角 θp 就是主方向。要紧的是，主轴不是固定的，它随应力状态转动。拖动 τxy 看看。剪切一大，主轴就越来越斜。剪切为 0 时，主轴就是原来的 x、y 轴。所以主轴是那个应力状态自己选定的自然方向，是把一点应力看得最简单的坐标系，剪切消失、只剩推拉的那个方向。
现在是主应力的值。把 θp 代入变换式并化简，得到出奇干净的形式：σ1,2 = (σx+σy)2 ± R。以平均 (σx+σy)2 为中心，向两侧各偏出半径 R 的两个值。这里 R = √(((σx−σy)/2)² + τxy²)。拖动 τxy 看看。平均纹丝不动，R 一大，σ1 和 σ2 就从平均向两侧远远分开。直觉上也讲得通：剪切越大，该点的应力状态越险，主应力的跨度也就越宽。这个"平均 ± 半径"的结构，是不是似曾相识？离中心一个半径的两个点。这正好通向下一讲的莫尔圆。
找到主平面后，最大剪切面就是白送的：它总是与主平面恰好相差 45 度。在小部件里，左边是主应力单元。没有剪切箭头，只有 σ1、σ2 推拉各面。右边是把它转 45 度的最大剪切单元。这里有大大的剪切箭头，两个面上的正应力都等于平均值 (σx+σy)2。那个最大剪切的大小是 τmax = R = (σ1−σ2)2，是主应力跨度的一半。拖动 τxy，两个单元一起长大。总结一下，一点的应力有两副面孔：剪切消失、正应力取极端的主平面，以及转 45 度、剪切取极端的最大剪切面。
这为什么如此重要？把它连到破坏上。不同材料弱点不同。粉笔、铸铁这样的脆性材料怕拉，也就是怕正向拉伸。所以它垂直于最大主应力 σ1 开裂。拉伸试样会沿轴横向啪地折断。而钢这样的延性材料，先屈服于滑动，也就是剪切。所以它沿最大剪切面、与主平面成 45 度的面滑移而断。用按钮切换两者看看。同样的拉伸，破坏面的方向却完全不同。所以同时求出主应力 σ1 和最大剪切 τmax 很重要：哪个危险由材料决定。脆性就把 σ1、延性就把 τmax 与极限比较。
最后，把一切收进一张卡片。给定 σx、σy、τxy，先求半径 R = √(((σx−σy)/2)² + τxy²)。于是主应力是 σ1,2 = (σx+σy)2 ± R，主角是 tan2θp = 2τxy(σx−σy)，最大剪切是 τmax = R。只这四行，就把一点的应力状态完全解出来。拖动 τxy，看这四个值怎样一起动。R 是把一切绑起来的核心量：R 一大，主应力跨度和最大剪切都跟着大。可这些公式，靠死记去用，常在符号和角度上出错。所以下一讲我们把这四行整个变成一幅图，莫尔圆，一个以平均为心、半径为 R 的圆，在它上面每个变换都变成简单的旋转，一件近乎魔法的工具。