一点的应力随观察角度而变
前面我们总把应力分成垂直于面的 σ 和沿着面的 τ。可那个面朝哪个方向取，其实由我们决定。同一个点，把面斜着转一转，作用在上面的正应力和剪应力就完全变了。听着怪，其实很自然：应力要有面才有定义，而你刚改了面的方向。所以一点的应力状态不是一个数，而是随角度变化的一整族。处理它的就是应力变换。转动角度，σ 和 τ 按正弦余弦摆动，其中会出现一个剪切为 0 的特殊角。在那里正应力最大，那正是材料实际开裂的方向。这一讲就直接给你看这种摆动。
画一点应力状态的标准办法是应力单元。设想该点周围一个极小的正方形，把四个面上的应力用箭头标出来。左右面上有水平正应力 σx，上下面上有竖直正应力 σy，沿着面则有剪应力 τxy。拖动 τ 看看。剪切箭头会在四个面上同时出现。剪切从不只作用在一个面上，否则就破坏平衡；它总是成组地出现在四个面上。这就是共轭剪切。这一个小单元，就整个装着该点的应力状态。三个数 σx、σy、τxy，就把平面应力完全定下来。
现在是关键一步。盯着同一个点，只把单元斜着转。拖动 θ，正方形旋转，新面上的正应力 σ′ 和剪应力 τ′ 一起变。点没变，只是面的方向变了，应力却不同。一开始让人困惑，细想就理所当然：同一束力，按哪个方向的面去切，垂直分量和平行分量的比例就不同。面越斜，力越是擦着面过去，剪切就越大。所以 σ′ 和 τ′ 是角度 θ 的函数。一个点不是只有一个应力值，而是每个观察角度都有不同的一组。于是你自然要问：哪个角度最危险？
把那种摆动写成公式，就是应力变换式：σ′ = (σx+σy)2 + (σx−σy)2·cos2θ + τxy·sin2θ，以及 τ′ = −(σx−σy)2·sin2θ + τxy·cos2θ。看着长，核心却简单：两者都是 2θ 的正弦余弦，是平滑的波。拖动 θ，σ′ 曲线和 τ′ 曲线上的两点一起动。要留意两点。第一，里面是 2θ 不是 θ，所以周期是 180 度；把单元转 180 度回到原样，理所当然。第二，σ′ 的平均值 (σx+σy)2 不论 θ 怎样都不变；这个和是旋转下守恒的量。一旦握住这两条曲线，找危险角就成了读曲线的峰和零点。
转动单元时，会出现一个剪应力 τ′ 恰好为 0 的角。那个面叫主平面，作用其上的正应力叫主应力。拖动 θ 把 τ′ 调到 0。那一刻单元的剪切箭头消失，剩下的只有纯粹的推与拉。而正是在这个角，正应力最大。最大主应力 σ1 和最小主应力 σ2 就出现在这些面上。为什么重要：材料通常垂直于这个最大主应力开裂。把粉笔拧断时，断面沿一条斜的螺旋裂开，那螺旋正是沿着主平面。所以要预测破坏，第一件事就是找出 σ1 及其方向，也就是主应力和主角。
这次反过来，找剪应力最大的角。拖动 θ，摸索 τ′ 达到峰值的地方，它恰好与主平面相差 45 度。总是这样。最大剪切面与主平面相差 45 度。而那个最大剪切的大小，是两个主应力之差的一半，τmax = (σ1−σ2)2。为什么重要：钢这样的延性材料，对剪切比对正应力先屈服。所以拉伸试样时，它沿着倾斜 45 度的面滑动伸长，而不是沿干净的横截面。那些斜纹正是沿最大剪切面留下的痕迹。总结一下：主平面上剪切为 0、正应力取极值，从那里转 45 度，剪切取极值。这两个特殊角就是应力变换的结论。