平面应力变换
前面把应力分成垂直于面的和沿着面的。可是那个面朝哪个方向，其实是我们的选择。同一个点，把面斜着转一下，上面的正应力和切应力就完全不同。听起来奇怪，却是当然的。应力要有面才有定义，而面的方向变了。所以一点的应力状态不是一个数，而是随角度变化的一组。处理这件事的就是应力变换。转动角度，正应力和切应力像正弦那样起伏，其中有一个特别的角，切应力变成 0。那里正应力最大，那个方向就是材料真正裂开的方向。这一讲直接把那次起伏演给你看。 裂开的方向就是那个特别的角。
画一点应力状态的标准办法是应力单元。想象围着那个点的一个很小的正方形，用箭头标出四个面上的应力。左右面上有水平方向的正应力，上下面上有竖直方向的正应力，还有沿着面滑开的切应力。移动剪切，切应力的箭头会同时出现在四个面上。切应力不会只作用在一个面上。否则平衡就破了。它总是成对地一起来到四个面，这就是互等切应力。这一个小单元，把那个点的应力状态整个装着。三个数就把平面应力全部决定了。 三个数决定一个点。
现在是核心。看着同一个点，只把单元斜着转。移动角度，正方形就旋转，新面上的正应力 σ′ 和切应力 τ′ 一起变。点没变，只是面的方向变了，应力却变了。起初会糊涂，想一想却是当然的。同一束力，用哪个方向的面去切，垂直分量和平行分量的比例就不同。面越斜，力就越擦着面过去，切应力就越大。所以 σ′ 和 τ′ 是角度的函数。一点上不是只有一个应力值，而是每个观察角度都有另一组。于是自然要问，哪个角度最危险。 面的方向把分量分开。
把那次起伏写成式子，就是应力变换式。σ′ = (σx+σy)2 + (σx−σy)2·cos2θ + τxy·sin2θ，以及 τ′ = −(σx−σy)2·sin2θ + τxy·cos2θ。看起来长，核心却简单。两者都是 2θ 的正弦和余弦，也就是光滑的波。移动角度，σ′ 曲线和 τ′ 曲线上的两个点一起动。要留意的有两件。第一，进去的不是角本身而是 2θ，所以周期是 180 度。把单元转 180 度就回到原位，这是当然的。第二，σ′ 的平均值 (σx+σy)2 无论角度怎样都不变。这个和是旋转也保存的量。只要手里有这两条曲线，找危险的角就是读曲线的峰和零点。
转动单元，会出现一个角，切应力 τ′ 正好是 0。那个面叫作主应力面，上面的正应力叫作主应力。移动角度把 τ′ 对到 0，那一瞬间单元上的剪切箭头消失，剩下的只是纯粹的推和拉。正是在这个角上，正应力最大。最大的主应力 σ1 和最小的 σ2 就从这些面上出来。要紧是因为材料通常沿着这个最大主应力的垂直方向裂开。把粉笔扭断，断面沿着一条斜的螺旋裂开，就是顺着主应力面走的。要预测破坏，找出 σ1 和它的方向，也就是主应力和主方向角，是第一件事。
这一次反过来，找切应力最大的角。移动角度去摸 τ′ 最大的地方，它正好是从主应力面转过 45 度的位置。永远如此。最大切应力面和主应力面相差 45 度。那个最大切应力的大小是两个主应力之差的一半，τmax = (σ1−σ2)2。要紧是因为钢这样的延性材料，会先向切应力屈服，而不是先向正应力屈服。所以拉一根拉伸试样，它不是沿干净的横截面滑，而是沿倾斜 45 度的面边滑边伸长。那些斜的条纹，就是沿着最大切应力面走过的痕迹。收束起来，主应力面上切应力是 0、正应力取极值，从那里转 45 度，切应力取极值。这两个特别的角，就是应力变换的结论。