应力状态是一个圆，转动单元就是在圆上转
在 D1、D2 里你看了应力变换式和主应力公式。它们准确，但正弦余弦再加 2θ 缠在一起，错一个符号答案就乱。可 1882 年，奥托·莫尔注意到一件妙事：那一整套复杂的公式，其实就是一个圆。把一点的应力状态画成 σ-τ 平面上的点，把单元转来转去、把每个点都描出来，惊人的是它们全落在一个圆上。这就是莫尔圆。圆心是应力的平均，半径是 R。这一幅图就装着变换的全部答案。主应力是圆与横轴相交的两端，最大剪切是圆顶，而把单元转 θ，就是在圆上转 2θ。不必背公式，画出圆来读就行。
先把应力状态搬到一个点上。画一个横轴是正应力 σ、纵轴是剪应力 τ 的平面。那么一个面上的应力 (σ, τ) 就成了这个平面上的一个点。应力单元的 x 面是 (σx, τxy)，转 90 度的 y 面是 (σy, −τxy)。拖动 τxy 看看。两个点上下移动，仔细看，它俩总在正相反的一侧。x 面和 y 面差 90 度，可在平面上却画在相差 180 度的对面。两倍已经出来了。连接这两点的线段，将成为圆的直径。把应力状态看成平面上的位置，而不是一堆数，这就是莫尔的第一次飞跃。
现在魔法展开了。一点点转动单元，每一步都把当时的 (σ′, τ′) 描下来。拖动 θ。点会去哪？它不散开，而是恰好沿着一个圆转。在任意角度切，那个应力都在这个圆上的某处。一点所有可能的应力状态，都装在这一个圆里。圆心在横轴上，σ = (σx+σy)2 的平均位置。D1 里旋转下不变的那个平均，正是圆心。圆的半径是 R = √(((σx−σy)/2)² + τxy²)，就是 D2 的那个 R。复杂摆动的变换式，被压成了一个以平均为心、半径为 R 的圆。
这里有莫尔圆的一个约定：把实际单元转 θ，圆上的点就转它的两倍 2θ。把左边的单元转 θ 看看。右边圆上的点移动 2θ。为什么是两倍？因为变换式全是 2θ 的函数。那个 2θ 在圆上就成了真正的旋转角。只要守住这个约定，莫尔圆就是个量角器。想知道某个面的应力，看那个面从 x 面转了多少度，在圆上读出转两倍那么多的点，就完了。不用记符号，也不用记正弦余弦。旋转就是旋转，看得见。
现在从圆上读答案。先看主应力。圆与横轴、也就是 τ=0 线相交的地方有两处：圆的最右端和最左端。那里剪切为 0，所以那就是主平面。右端的 σ 值是最大主应力 σ1，左端是最小 σ2。又因为圆心是平均、半径是 R，自然 σ1 = 平均 + R，σ2 = 平均 − R。你在 D2 里当公式背的，在图上不过是圆的两端。拖动 θ 把点对到端点。点一碰横轴，剪切就消失。求主应力，无非是标出圆上最左最右伸到头的两个点。
最后是最大剪切。圆上 τ 最大的地方在哪？当然是圆顶。到那里的高度正是半径 R。所以最大剪应力 τmax = R。D2 里写 τmax = (σ1−σ2)2，而 σ1−σ2 是直径，它的一半就是半径，同一回事。在图上只要量圆的半径就行。而圆顶沿圆与两端（主应力）相差 90 度。圆上 90 度，在实际单元上是它的一半 45 度。D2 的那个 45 度在这里自动出来。拖动 θ 把点抬到圆顶。总结一下，一点的应力状态是一个圆，主应力是左右两端，最大剪切是上下两端，单元旋转是圆上的两倍旋转。莫尔圆是把整个应力变换变成一幅图的工具。