莫尔圆

先把应力状态搬到点上。横轴是正应力、纵轴是切应力的平面里，一个面上的一对应力就是一个点。单元的 x面是 (σx, τxy)，从那里转过 90 度的 y面是 (σy, −τxy)。移动剪切，两个点上下走，可它们永远待在正对面。x面和 y面在单元上相差 90 度，在平面上却打在 180 度的对面。2 倍已经出现了。连接这两点的线段就是圆的直径。不把应力状态看成一捆数字，而看成平面上的位置，这是莫尔的第一跳。两点定下直径。 平面上的位置定下圆的直径，这就是这一步的全部内容。

现在把单元一点一点转动，把当时的 (σ′, τ′) 继续点下去。移动角度，点并不散开。它严格沿着一个圆走。无论从哪个角切开，那个应力都在这个圆的某处，一点上一切可能的应力状态都收在这一个圆里。圆心在横轴上，平均 σ = (σx+σy)2 的地方。D1 里旋转也不变的那个平均，正是这个圆心。半径是 R = √(((σx−σy)/2)² + τxy²)，也就是 D2 的那个 R。起伏的变换式收成以平均为圆心、半径为 R 的一个圆。圆代替了式子。 平均撑住圆心。

莫尔圆有一个约定。把真实的单元转过一个角，圆上的点就转过两倍的 2θ。转动左边的单元，右边圆上的点就移动 2θ。两倍的原因是，变换式全部是 2θ 的函数。那个 2θ 到了圆上，就成了真正的转角。守住这一个约定，莫尔圆就是量角器。想知道某个面的应力，就看那个面从 x面转过多少，再在圆上读出转过两倍角度的点。符号不用背，正弦也不用背。转动就作为转动呈现在眼前。单元角度的两倍，就是圆上的角。

现在从圆上读答案。先读主应力。圆与横轴，也就是 τ=0 的线，相交于两处。它们是圆的右端和左端，那里的切应力是 0，所以那些面是主应力面。右端的正应力是最大主应力 σ1，左端是最小的 σ2。圆心是平均，半径是 R，所以 σ1 = 平均 + R，σ2 = 平均 − R。D2 里当作公式来背的东西，在图上只是圆的两端。把点对到端上，它一碰到横轴，切应力就消失。求主应力，就是在圆上标出向左右伸得最远的两个点。两端就是两个主应力。

最后是最大切应力。圆上切应力最大的地方是圆的顶点，到那里的高度正好是半径 R。所以最大切应力 τ_max = R。D2 里写的是 τ_max = (σ1−σ2)2，而 σ1−σ2 是直径，它的一半就是半径，说的是同一件事。在图上，量一下圆的半径就够了。顶点沿着圆离开两端的主应力 90 度。圆上的 90 度，在真实单元上是它的一半，也就是 45 度，D2 的那个 45 度在这里自己冒出来。把点放到顶点上，这个关系就照原样显出来。一点的应力状态是一个圆，主应力是左右两端，最大切应力是上下两端，单元的转动是圆上的 2 倍转动。莫尔圆把应力变换整个换成一张图。一张图代替了式子。