细长柱在压碎之前先弯
到目前为止，我们看的是构件承受应力，直到屈服或断裂。可细长的柱以完全不同的方式失效。把一把尺子竖起来从顶上往下压。轻压时它笔直站着，可某一刻力越过临界点，它就突然朝侧面弯掉了，而应力还远没到屈服。这就是屈曲。它崩溃不是因为材料弱，而是因为笔直站立这个状态本身变得不稳定了。1744 年，欧拉精确算出了这个临界载荷：Pcr = π²EI(KL)²。惊人的是，这个式子里没有材料强度。它只由刚度 EI、长度 L，以及两端如何被支承（K）来决定。让我们看看为什么高梯子、细柱、薄罐会突然折叠，看看这个稳定的极限。
先只是压一根笔直的柱。拖动 P。在到达临界点之前，柱保持笔直，只是长度缩短一点点。这就是 B1 里看过的轴向压缩：它缩短 δ = PLAE，并不朝侧面弯。截面上的应力也均匀，为 σ = PA，还远没到屈服。一根短粗的柱会这样笔直撑着，直到应力达到屈服才压碎。不发生屈曲。所以压缩本身不是屈曲。屈曲是这样一个事件：受压的笔直柱，在越过某个载荷的瞬间，放弃笔直，朝侧面逃逸。那个门槛在哪，是下一个问题。
现在把载荷推过临界值。拖动 P 越过 Pcr。一越过会发生什么？笔直的柱突然像弓一样朝侧面弯。而 P 再升高一点点，挠度 δ 就快速增大。这就是分岔的意思。在 Pcr 之下，笔直的形状是唯一稳定的答案，但越过 Pcr，笔直的形状变得不稳定，弯曲的形状重新出现，就像岔路口。为什么这么突然？柱稍微一弯，载荷 P 就乘上那段侧向距离产生弯矩，这弯矩把柱弯得更多，弯得更多弯矩就更大。这个反馈胜过材料回复刚度的那一刻，正是 Pcr。它失效不是因为应力到了极限，而是因为形状的稳定性崩溃了。
那个临界载荷正是欧拉公式。两端用铰支承的柱，Pcr = π²EIL²。这里 EI 是弯曲刚度：E 是材料的弹性模量，I 是截面二次矩，就是 B3 里那个 I。EI 告诉你柱抵抗弯曲的能力。但关键是分母里的 L²。拖动 L。把长度加倍，Pcr 就降到四分之一。长度按平方蚕食屈曲强度。所以即便截面相同，长柱也弱得可怜。还有一点：屈服或极限这类材料强度，在这个式子里完全不出现。只有刚度和长度。屈曲不是强度问题，而是刚度和形状的问题，这个式子把这一点钉死了。
那么哪些柱因屈服而亡，哪些因屈曲而亡？决定它的一个数是长细比 λ = KLr。这里 r 是回转半径，r = √(I/A)，衡量截面铺展得多有效。改写成临界应力，就是 σcr = π²Eλ²。拖动 λ。λ 大，即细长，σcr 很低，应力还没到屈服就因屈曲崩溃。反过来 λ 小，即短粗，σcr 高于屈服强度，于是先屈服，在屈曲之前。两条曲线相交的过渡长细比 λ₁ = π√(E/σy) 就是分界。所以设计时一看柱，先查长细比，因为是长柱还是短柱，会彻底改变由谁来主导这个极限。
最后，如何支承两端会大大改变强度，欧拉公式里的 K 就承载了这一点。选择端部条件。铰-铰给出 K=1，这是基准。把一端完全固定、另一端自由（像旗杆），K=2，于是同样长度下 Pcr 降到四分之一，是最弱的情形。反过来，把两端都牢牢固定，K=0.5，Pcr 跳到四倍。固定-铰居中，K≈0.7。K 的含义是有效长度：实际长度 L 乘以 K，那个 KL，就是换算成等效铰-铰柱时的长度。由于 K 在 Pcr = π²EI(KL)² 里以平方进入，仅靠支好两端就能把屈曲强度改变好几倍。所以柱的设计不仅要看截面，还要连同两端的连接一起看。