欧拉屈曲
到这里为止，看到的是构件扛着应力屈服或者折断。细长的柱子用完全不同的方式倒下。把一把尺子立起来从上往下压，轻轻压的时候它还直直地站着，力一过那道门槛，就突然弯到旁边去。应力连屈服的附近都还没到。这就是屈曲。不是材料弱，而是直立的状态本身变得不稳定，所以倒了。1744 年，欧拉把这个临界载荷写成了式子。Pcr = π²EI(KL)²。叫人吃惊的是，材料的强度不进这个式子。只由刚度 EI、长度 L，以及两端怎么固定，也就是 K 来决定。长梯子、细柱子、薄罐子为什么突然折起来，这一讲看的就是那个稳定的极限。
先把立直的柱子就这么压下去。移动 P，在碰到临界之前，柱子保持直立，只是长度缩短一点点。这就是 B1 里见过的轴向压缩。只缩短 δ = PLAE，并不弯到旁边。截面上的应力也是均匀的 σ = PA，离屈服还远。又短又粗的柱子会就这样直直地撑到应力碰到屈服，然后被压碎，屈曲并不发生。压缩本身不是屈曲。屈曲是受压的直柱在越过某个载荷的那一瞬，放弃直立、逃到旁边去的事件。那道门槛在哪里，是下一个问题。直立还守得住的时候，那只是一段短短的压缩。
现在把载荷推过临界。移动 P，让它越过 Pcr，会发生什么。本来直立的柱子突然像弓一样弯到旁边。P 只再抬一点，弯曲就迅速变大。这是分岔。在 Pcr 以下，直立的形状是唯一稳定的答案，可是一过 Pcr，直立的形状变得不稳定，弯曲的形状像岔路一样新冒出来。之所以突然，原因是这样。柱子稍一弯，载荷 P 就按那段侧向距离造出弯矩，弯矩让柱子弯得更多，弯得更多，弯矩又再变大。这个反馈胜过材料恢复力的那一瞬，正是 Pcr。不是应力碰到了限度，而是形状的稳定垮了，所以垮了。载荷一过门槛，直立就不再是答案。
那个临界载荷就是欧拉公式。两端用销支承的柱子是 Pcr = π²EIL²。这里 EI 是弯曲刚度。E 是材料的弹性模量，I 是截面的二次矩，也就是 B3 里见过的那个 I。柱子能扛住多少弯曲，由 EI 来说。真正的关键是分母里有 L²。把 L 拉长到两倍，Pcr 就降到四分之一。长度按平方削掉屈曲强度。所以同样的截面，柱子一长就弱得可怜。还有一件，屈服强度、极限强度这些材料的力气，完全不进这个式子。只有刚度和长度。这个式子把话说死了。屈曲是刚度和形状的问题，不是强度的问题。
什么样的柱子死于屈服，什么样的柱子死于屈曲。分开它们的数是长细比 λ = KLr。这里 r 是回转半径，量的是截面铺开得有多有效，并且 r = √(I/A)。再写成临界应力，就是 σcr = π²Eλ²。移动长细比，分岔就照原样显出来。长细比大，也就是又长又细，临界应力很低，应力还没碰到屈服就先屈曲倒下。反过来长细比小，也就是又短又粗，临界应力高于屈服强度，屈曲之前先屈服。两条曲线相遇的过渡长细比 λ₁ = π√(E/σy) 就是那条边界。设计的时候看柱子，先看长细比。柱子是长是短，决定哪一个限度做主。长细比决定叫来哪一个限度。
最后，两端怎么固定，会把强度改得很大。欧拉公式里的 K 装着这件事。换着端部条件来比，差别很清楚。销对销是 K=1，这是基准。一端完全固定、另一端自由，像旗杆那样立着，就是 K=2，同样的长度，Pcr 掉到 1/4。这是最弱的情形。反过来两端都死死固定，是 K=0.5，于是 Pcr 跳到四倍，固定对销则在中间，K≈0.7。K 的意思是有效长度。实际长度 L 乘上 K 得到的 KL，就是折算成销对销柱子的长度。在 Pcr = π²EI(KL)² 里 K 以平方进入，所以只要把端部抓紧，屈曲强度就能差上好几倍。柱子的设计不只看截面，两端的连接也要一起看。