弯曲应力
书架的搁板在书的重量下微微下垂，跳水板站上人就会弯。这就是弯曲。既不是拉开，也不是扭转，而是横向变弯。弯曲的梁里面会发生有意思的事。上面的纤维变短，成为受压；下面的纤维变长，成为受拉。两者之间有一个既不伸也不缩的面，那就是中性轴。应力在中性轴上是 0，离得越远就线性地越大。收成一行就是 σ = MyI。扭转对半径是线性的，弯曲对深度就是线性的。而这个式子解释了为什么梁不平放，要立起来用。
先看弯曲的梁里面发生什么。移动曲率，把梁弯一弯。把梁想成一束细纤维就好。梁向下垂时，上面的纤维成为内侧，周长变短，所以受压；下面的纤维成为外侧，于是变长。上面是压缩，下面是拉伸，分得很清楚。一个构件里面，压缩和拉伸同时存在。而在那条边界上，有一条什么都不发生的线。 边界上的那条线，是下一件事。
那条什么都不发生的线就是中性轴。既不伸也不缩，所以应变是 0，因此应力也是 0。离开那里会怎样。越往上压得越多，越往下拉得越多，而且正好与距离成正比。移动探针改变深度，离中性轴两倍远时，应力也变成两倍。所以应力分布中间是 0，向上下张开，像一个蝴蝶结。核心是，应力对深度 y 是线性的。这和扭转对半径线性是同一种结构，意思是最外侧的纤维最危险。
现在把那个分布写成式子。σ = MyI。M 是弯矩，梁被弯得多用力；y 是离中性轴的距离，应力与 y 成正比就写在这里。I 是截面二次矩，占着扭转里 J 的位置，是一个几何量。移动 M，整个分布按比例变大，在最远的纤维 y=c 处应力最大。σmax = McI。和拉伸的 σ = PA 一比，差别很清楚。拉伸在截面上处处应力相同，弯曲却带进位置 y，越靠外越大。所以即使是同一个截面，弯曲也从边缘开始屈服。
这里好好看 I 是什么。I = ∫y²dA，每一小块面积乘上到中性轴距离的平方，再全部加起来。因为有距离的平方，离中性轴远的材料得到非常大的权重。所以截面越深，I 就越爆发式地变大。矩形是 I = bh³12，高度的三次方。截面积保持不动，只移动高度，同样多的材料，立得越直 I 就升得越快。这就是梁不平放、要立起来用的理由。也是工字梁把中间掏薄、把材料赶到上下两边的理由。真正在干活的，是离中性轴远的材料。
实务里常常只看最大应力就够了。所以把 I 和最远距离 c 捆成一个截面模量 S = Ic。于是最大应力从 McI 干净地变成 σmax = MS。一个 S 就把那个截面的弯曲强度整个说出来。S 越大，同样的弯矩下应力越低。移动高度，即使截面积相同，更深的截面 S 更大，最大应力就下降。所以翻开钢材目录，每个构件都写着 S。设计者把要承受的弯矩 M 除以许用应力，求出需要的 S，再选超过那个 S 的最轻截面。弯曲设计事实上就绕着这一行转。