挠度是曲率 M/EI 积分两次
到目前为止，你问的是梁断不断，也就是强度。可不断并不是全部。跳水板晃得太厉害，或楼面梁明显下垂，即使不断也没法用。所以还得问梁实际弯多少，也就是刚度。那个弯曲的形状就是挠曲线，求它的路出乎意料地简单。正如 B3 里看到的，梁弯曲的程度，即曲率，与该处的弯矩成正比，与抗弯刚度成反比：曲率 = MEI。曲率是挠度求两次导，反过来，把 MEI 积分两次就得到挠度。每积分一次会出现一个常数，由支座给的边界条件确定。而当多个荷载同时作用，只需各自分别求解再相加。
先看挠度本身。压一压一端固定的悬臂梁的端头。梁向下弯成一条光滑的曲线。这就是挠曲线 y(x)，表示各位置从原来的地方下降了多少。压得越用力，垂得越深。在弹性范围内，挠度也与荷载成正比，胡克定律一路跟到这里。悬臂梁端部荷载时，端部挠度是 δ = PL³(3EI)。要留意的是 L³。长度翻倍，挠度涨八倍。所以越长的梁垂得越多，在挠度问题里长度是最可怕的变量。
把挠度的真面目揭开一层。取弯曲梁的一小片，它像一小段圆弧一样弯着。弯得多厉害叫曲率 κ，是半径 R 的倒数。核心关系就在这里：κ = MEI。该处弯矩 M 越大越弯，抗弯刚度 EI 越大越不弯。拖动 M 看看。弯矩一大，小片就卷成更紧的弧。EI 随截面越深、材料越硬而越大，同样的弯矩下 EI 大就几乎不弯。强度里主角是截面模量 S，刚度里主角是 EI。而曲率正是挠度的种子：每个位置定下的这些小弯，累积起来就成了整条挠曲线。
现在把这些小曲率累成挠度。在数学上，曲率是挠度 y 求两次导：EI·y″ = M。那就反过来走。把 MEI 积分一次，得到梁的斜率 y′；再积分一次，得到挠度 y。对悬臂梁端部荷载，弯矩沿位置线性，所以 MEI 线性，积分一次的斜率是抛物线，再积分的挠度是三次曲线。拖动 P，三条曲线一起长大。你能看到每积分一次次数升一阶。这两次积分就是挠度分析的引擎。只要有弯矩图，两次积分就把梁弯成什么形状整个交给你。
积分有一个陷阱。每积分一次就附带一个未知常数，积两次就有两个。不把它们定下来，挠曲线就会上下漂移，或整条倾斜。把这些常数钉死的，就是边界条件，是支座给你的事实。悬臂梁的话，固定端处挠度为 0、斜率也为 0，因为它被牢牢嵌进墙里，那两个条件正好定下两个常数。简支梁的话，则是两端挠度为 0。用按钮换支座看看。同样的荷载，挠曲形状却完全不同。即便曲率分布相同，边界条件不同，结果就不同。所以在梁的问题里，支座是什么，占了一半。
最后，有一份让实务变得很轻松的礼物。因为一切都是线性的，挠度也能相加。梁上若有多个荷载，把每个荷载单独造成的挠度分别求出来，再相加就行。这叫叠加。用按钮在只有荷载 A、只有 B、两个都有之间切换。两个都加时的挠度，正好等于 A 单独的挠度加 B 单独的挠度。所以复杂的荷载也不用怕。教科书后面用表格整理了悬臂端部荷载、均布荷载、中央集中荷载等基本情形的挠度公式，实际问题只要查表相加就解出来了。挠度分析说到底，就靠两次积分加上相加来运转。