梁的挠度
到这里为止，问的是梁会不会断，也就是强度。可是不断并不等于结束。跳水板晃得太厉害，或者楼板梁下垂得看得见，即使不坏也不能用。所以得问梁实际上弯多少，也就是刚度。那个弯出来的形状叫作挠曲线，求它的路很简单。正如 B3 里见过的，梁弯曲的程度，也就是曲率，与那个位置的弯矩成正比，与弯曲刚度成反比。曲率 = MEI。曲率是挠度微分两次，所以反过来把 MEI 积分两次，挠度就出来了。积分会产生常数，那些常数由支座给出的边界条件来定。几个载荷一起作用时，分开解再相加就行。
先看挠度本身。把一端固定的悬臂梁的端头按下，梁向下弯，画出一条光滑的曲线。这就是挠曲线 y(x)，表示每个位置从原来的地方下降了多少。端头按得越用力，垂得越深。在弹性范围里，挠度也与载荷成正比，胡克定律一直跟到了这里。悬臂梁的端头载荷，端头挠度是 δ = PL³(3EI)。这里要留意的是 L³。长度变成两倍，挠度就是八倍。所以长梁垂得厉害得多，在挠度问题里，长度是最可怕的变量。
把挠度的面目揭开一层。取弯曲的梁的一小段，它像一小段圆弧那样弯着。弯了多少叫作曲率，是半径 R 的倒数。核心关系在这里。κ = MEI。那个位置的弯矩 M 越大，弯得越多；弯曲刚度 EI 越大，弯得越少。移动 M，弯矩变大时，那一小段卷得更圆。EI 在截面更深、材料更硬时变大，即使弯矩相同，EI 大也几乎不弯。强度里截面模量 S 是主角，刚度里 EI 就是主角。曲率正是挠度的种子，每个位置定下的小弯曲堆积起来，就成了整条挠曲线。
现在把那些小曲率堆成挠度。数学上，曲率是挠度 y 微分两次。EI·y″ = M。所以反过来走就行。把 MEI 积分一次，得到梁的斜率 y′，再积分一次，得到挠度 y。看悬臂梁的端头载荷，弯矩对位置是线性的，所以 MEI 也是线性的，积分一次的斜率是抛物线，再积分的挠度是 3 次曲线。移动 P，三条曲线一起长大，每积分一次，次数就升一阶。这两次积分是挠度分析的引擎。只要有弯矩图，积分两次就能得到梁弯成的整个形状。
积分有一个陷阱。每积分一次就粘上一个未知常数，积分两次就有两个常数。不定下这两个，挠曲线就会上下漂，或者整个倾斜。把这些常数固定住的，是边界条件，也就是支座给出的事实。悬臂梁在固定端挠度是 0，斜率也是 0，因为被墙夹住。那两个条件正好定下两个常数。简支梁则是两端的挠度都是 0。用按钮更换支座，同样的载荷，挠度的形状却完全不同。即使曲率的分布相同，边界条件不同，结果也不同。所以在梁的问题里，支座是什么占了一半。 支座是形状的一半。
最后有一份让实务变轻松的礼物。一切都是线性的，所以挠度也可以相加。梁上有好几个载荷时，把每个载荷单独造成的挠度分别求出来，再加起来就结束了。这叫作叠加。用按钮在只有载荷 A、只有 B、两者都有之间切换，两者都在时的挠度，正好等于 A 单独的挠度加上 B 单独的挠度。所以复杂的载荷也不必怕。基本情形的挠度公式已经列成表，实际问题把那张表拿出来相加就能解。挠度分析归根是两次积分加一次加法。 拿出表来相加，就是实务的全部。不必每次从头积分。