轴向变形 δ=PL/AE
前面分别看过一点上的应力和应变。实务里真正想知道的，是这根杆子整体会拉长多少。缆索会下垂多少 mm，柱子会沉下多少。那个伸长叫作 δ。令人意外的是，伸长恰好由四件事决定。拉得多用力(P)，杆子有多长(L)，有多粗(A)，是什么材料(E)。收成一行就是 δ = PLAE。这是材料力学里用得最多的公式之一。把这个式子倒过来，就会露出杆子其实是刚度为 k = AEL 的一根弹簧。 四件事决定整体的伸长。
先看拉力和伸长的关系。移动 P 去拉杆子，端部就前进那么多；拉到两倍用力，伸长也变成两倍。旁边的小图里，拉力和伸长连成一条笔直的直线，那是正比。这是前面见过的胡克定律 σ = E·ε，放大到整根杆子。应力与应变成正比，所以力与伸长成正比。在弹性范围里，永远是这么干净的直线。所以量一下拉到一半时的伸长，拉到两倍时的伸长也就立刻知道。P 和伸长并排走，就是这幅图的全部。
现在看伸长究竟由什么决定。δ = PLAE。把四个字母一个一个拆开，都说得通。P 大就伸得更多，L 长就伸得更多，A 粗就伸得更少，E 硬就伸得更少。这里只移动长度 L。P、A、E 保持不动，只把杆子加长，伸长就按比例变大。为什么。若一根 1m 的杆子伸长 1mm，那就是每 1m 伸长 1mm。所以 2m 就是 2mm，3m 就是 3mm。即使应变相同，长度一长，绝对的伸长就会堆积。A2 里见过的应变与长度的关系，原样进到这里。
这次看分母。在 δ = PLAE 里，A 和 E 在下面，所以越大，伸长就越小。把截面积 A 移得更粗，同一个力铺到更宽的截面上，应力下降，伸长也减少。用材料按钮也换一换 E。钢几乎不伸长，铝伸得稍多，木头伸得多得多。把乘积 A·E 想成这根杆子的刚度就好。又粗又硬，刚度就大，同样的力下也不怎么动。桥索不用细线而用粗钢索，理由就在这个分母里。
真实的构件，粗细并不一律。想一根截面像台阶那样变化的杆子。同一个力 P 同样贯穿每一段，可是每一段的粗细不同，伸长也不同。总伸长就是把各段的伸长全部加起来。δ = Σ PLAE，分段算完再相加。移动 P，最细的那一段伸得最多。同一个力，变形却堆在截面窄的地方。所以设计构件时，最弱的那一段左右着整体的行为。链条断在最弱的一环，就是这个道理。
最后把 δ = PLAE 倒过来。写成 P = (AEL)·δ，这就正好是弹簧定律 F = kδ 的形状。所以轴构件是刚度为 k = AEL 的弹簧。移动 P，弹簧就伸长，并按 δ = Pk 跟着走。k 大，就是硬弹簧，不怎么伸；k 小，就是软的，一下子伸出去。这个看法有力，是因为复杂的结构可以换成好几根弹簧来解。串联时刚度按一种方式相加，并联时又按另一种方式相加。把杆子看成弹簧的那一刻，结构分析就变成熟悉的弹簧问题。