能量在动能与势能之间不停交换
看着重物来回摆动，仔细看两端的两个点。那一瞬间，重物彻底停住。可正是那时，弹簧被拉得最长。再看中心：重物在那里从不停留，以最快的速度冲过去。可弹簧却完全松弛，什么也没存。那么，当运动在两端停下时，能量去哪儿了？哪儿也没去。它只是换了形式。在两端，能量全都存进被拉长的弹簧里；在中心，能量全由飞奔的重物带着。来来回回，同样的能量从一种形式交到另一种，再交回来，循环不息。只要没有摩擦，它们的和就绝不改变。荡秋千的孩子不用任何公式就用身体懂得这件事：在最高处停顿一拍，在最低处冲得最快。这一讲，就是把那一次交换凑近了细看。
弹簧下方的横条，是这个系统拥有的全部能量预算。它的总长度永不改变——这就是整整一讲浓缩成的一幅图的定律。蓝色部分是储存在弹簧里的能量（势能），绿色部分是运动的能量（动能）。看着重物移动时分界线如何滑动。在两端，横条全蓝：弹簧充满，重物停住。在中心，全绿：重物飞奔，弹簧清空。一边增加多少，另一边就正好减少多少，所以总量原地不动。还要注意，交换在每个来回里发生两次——无论朝哪个方向，每当重物经过中心，能量就全部变成动能。
现在单看弹簧这一半。被拉伸（或压缩）了 x 的弹簧所储存的能量是 PE = ½kx²。拉动滑块，看那个值沿着一条抛物线往上爬——是个碗形，而不是直线。这条曲线正是关键：由于平方，拉远一倍，储存的能量不是两倍，而是四倍；拉远到三倍，就是九倍。这个碗，就是重物离开中心时必须爬的山坡；弹簧越硬（k 越大），山坡越陡。在两端 x = ±A 处，重物坐在碗的最高处，系统的能量一点不剩，全都以 ½kA² 停在这里。
再看另一半，运动的能量：KE = ½mv²。重物在两端各停一瞬，那里速度为零，完全不带动能；而在穿过中心时最快，速度在 vmax = Aωₙ 处达到峰值。把动能对位置画出来，会得到一个倒扣的碗：中间最高，两端为零，正是上一步弹簧那个碗的镜像。重物上的箭头表示速度，在中心最长，越往两端越缩到没有。当重物顺着弹簧的山坡向中心下滑时，它花掉储存的弹簧能量去换取速度；爬上另一侧时，又把速度花回去，重新给弹簧充能。
把这两半放进同一幅图，再滑动位置。蓝碗是弹簧的能量 PE = ½kx²，绿色的倒碗是运动的能量 KE = ½k(A²−x²)；无论你把 x 放在哪里，两者的高度相加，都汇到顶上那条平直的金线，也就是 E = ½kA²。一个升高，另一个就恰好降低同样多；右边那根小条显示它们叠起来始终是同一个总和。那条平线，正是把能量守恒画成了图：在理想的、无摩擦的振子里，能量既不会凭空产生，也不会消失，只是在弹簧与重物之间来回交换。而这一句 ½kx² + ½mv² = ½kA²，是你今后会不断用到的工具：在任意位置写下它，你就能求出该处的速度，全程不必提到时间。
那么，整个预算的大小由什么决定？振幅。总能量是 E = ½kA²，也就是说，它按你拉多远的平方增长。回想上一讲：振幅不改变频率——无论你是轻碰还是猛拉，节拍都一样。可是能量完全是另一回事。滑动 A，看左边的波随 A 一起变高，而右边的能量条窜得快得多；刻度的间隔越拉越开，那道越来越宽的缝，正是平方在起作用。把振幅加倍，你就投入了四倍的能量。这就是为什么拨得越狠弦声越响，推得越大秋千荡得越高，也是共振如此危险的原因：它悄悄地不断把能量灌进来，振幅一点点爬升，储存的能量按其平方攀高，直到某处崩断。