简谐运动 能量
看着砝码来回走，仔细看两端的两个点。那一瞬间砝码正好停住，也正是弹簧拉得最长的时候。再看中心。砝码在那里绝不停，最快地过去，弹簧完全松开，什么也不装着。两端运动停住的时候，能量哪儿也没去，只是换了形状。两端全部存在拉长的弹簧里，中心全部由奔跑的砝码带着。同一份能量从一个形状交到另一个形状，没有摩擦，和就绝不改变。荡秋千的孩子在最高处停一拍，在最低处最快地过去。这一幕就是在看那一次交接。 高处是储存，低处是奔跑。荡秋千的孩子已经知道这次交换。 停是储存，过是奔跑，两者的和留成一条线。秋千在公式之前就已经教了这次交换。
弹簧下面的柱子是这个系统的全部能量预算，整根长度绝不改变。蓝色是存在弹簧里的能量，也就是势能，绿色是运动的能量，也就是动能。砝码动的时候看边界滑动，两端柱子全是蓝。弹簧装满，砝码停着。中心全是绿，砝码在跑，弹簧空着。一边装满多少，另一边就正好空出多少，和留在原地。无论往哪边走，砝码每次过中心，能量就全部变成动能。 蓝和绿在一根柱子里换座位。预算的线不伸也不缩。 每次往返过两次中心，每次柱子都装满绿色。颜色在换，预算不漏。
现在只把弹簧这一半拆开来看。伸长或缩短 x 的弹簧里存的能量是 PE = ½kx²。拖动滑块，值沿着抛物线上升，不是直线，是碗的形状。因为有平方，拉到两倍，存的能量不是两倍而是四倍，拉到三倍就是九倍。这个碗是砝码离开中心时要爬的山，弹簧越硬（k 越大）山越陡。两端 x = ±A，砝码坐在碗顶，系统的能量一粒不剩地以 ½kA² 聚在这里。 碗越陡，同样的距离越贵。硬弹簧对同样的拉收取更多。 拉得越远，山按平方越贵，拉回去的力也变大。碗是距离的价目。
现在剩下一半，运动的能量 KE = ½mv²。砝码在两端停一瞬间，那里速度是 0，一点动能也不带。穿过中心的时候最快，速度在 vmax = Aωₙ 打到顶点。把动能对位置来画，就得到一个倒扣的碗，中间最高，两端是 0，是弹簧那个碗的镜子。砝码上的箭头表示速度，中心最长，越往两端越缩到 0。下到中心的时候花弹簧的能量去买速度，爬另一边的时候花那个速度把弹簧再装满。 箭头越长运动越多，越短运动越少。中心在速度上最富。 两端的停和中心的冲是一个周期的两张脸。下去买速度，上去花速度。
把两半放在同一张图上，用滑块移动位置。蓝色的碗是弹簧的能量 PE = ½kx²，绿色倒扣的碗是运动的能量 KE = ½k(A²−x²)。x 放在哪里，两个高度加起来都聚到最上面那条平的金色线，也就是 E = ½kA²。一边上升，另一边就正好下降那么多，右边的小柱子把两者叠起来，总是同一个和。那条平线就是能量守恒画成的图。没有摩擦的振动里，能量既不新生也不消失，只在弹簧和砝码之间来回。½kx² + ½mv² = ½kA² 是在任何位置都不拿出时间、就能求出那一点速度的工具。 平的金线就是和不变的图。两个碗是一份预算的互补。 不拿出时间，只靠位置也能读出快慢。金线是什么也没丢的承诺。
整个预算的大小由振幅决定。总能量是 E = ½kA²，按拉多远的平方长大。轻轻碰砝码或使劲拉，拍子一样。能量却是另一件事。移动 A，左边的波浪长高的时候，右边的能量柱子窜得快得多，那个拉开的缝就是平方在做事。振幅变成两倍，放进去的能量就是四倍。弹得更狠，弦声更大。推得更大，秋千更高。共振不停地把能量推进去，振幅变大，存着的能量按那个平方上升，直到有东西坏掉。 四倍的预算装进两倍的振幅里。响度和高度是这个平方看得见的样子。 拍子原样，只有预算按平方胀大，这就是振幅的意思。响度、高度和危险都是这个平方。