固有频率由刚度和质量决定
把挂在弹簧末端的重物往一边轻轻拉一下，再松手。一放开，没有谁去指挥它，重物就按自己的节拍来回振动起来。那节拍始终如一。无论你拉得用力还是轻柔，来回一趟所用的时间都不变。这就是这个系统的固有频率。凡是会振动的东西，都有属于它自己的节拍：秋千、桥、楼房、音叉都是。那么，这节拍由什么决定？只有两样。弹簧有多硬（刚度），还有重物有多重（质量）。越硬越快，越重越慢。振动的全部故事，就从这一幕开始。
拖动重物拉到一边，然后松手。一放开，重物就自己开始振动。下面的图显示它的位移随时间怎样变化：一条平滑起伏的波。这就是简谐运动。现在做个实验。先拉得很远再松手，再只拉一点点松手。波的高度（振幅）变了，但一次起伏到下一次之间的间隔却不变。也就是说，你摇得多用力，都改变不了节拍。节拍是系统本身定的，所以我们叫它固有（与生俱来的）频率。
现在质量保持不变，只换弹簧。这里的 k 是弹簧的刚度，也就是它有多硬。把 k 调大，振动明显变快。更硬的弹簧把重物往平衡位置拉回的力更大。同样的重量，回拉得更猛，来回一趟就更快。想想汽车的悬挂。硬的跑车弹簧蹦得又快又紧，软的弹簧则慢悠悠地晃。回复力越强，节拍越快。这是第一条规则。
这次反过来，弹簧不变，只增大质量。方块越大，重物越重。把 m 调大，振动就越来越慢。重的东西惯性大。一旦动起来就不愿停，一旦停着又不愿动。所以即使同样的弹簧在拉，重的重物反应也迟钝，来回一趟要花更长时间。这就像大钟比小钟敲得更低沉、更慢。质量越大，节拍越慢。这是第二条规则，它的作用方向和刚度正好相反。
把两条规则合成一个式子，就得到固有角频率 ωₙ = √(km)。刚度 k 在上面（分子），质量 m 在下面（分母）。所以 k 变大，ωₙ 就变大；m 变大，ωₙ 就变小，正是我们刚看到的。还有一点很重要：外面套了一个平方根。用 k 和 m 滑块改变比值 km，曲线呈 √ 形，起初陡，越往后越平。这意味着把刚度变成四倍，频率也只快两倍。要让节拍快一倍，就得把弹簧做硬四倍。知道了频率，周期 T = 2πωₙ（来回一趟的时间）和频率 f = ωₙ2π（每秒次数）也就立刻跟着出来了。
同样的原理在弹簧之外照样管用。单摆有点特别。它的固有频率是 ωₙ = √(gL)，里面只有长度 L，摆锤的重量根本不出现。所以无论摆锤重还是轻，只要绳长相同，就以同样的节拍摆动。伽利略看着大教堂的吊灯注意到的，正是这一点。高楼就像一个巨大的单摆：越高就越软越重，所以摆得很慢。摩天大楼的顶端在风中每隔几秒慢悠悠地来回飘，就是这个缘故。音叉则恰恰相反。它又短又硬又轻的叉股振动得非常快，每秒几百次，所以在我们耳里成了一个稳定的音。用按钮在三者之间切换，你会看到同一个故事：刚度与质量的平衡决定节拍。