固有频率 是什么
把弹簧末端挂着的砝码轻轻拉到一边再放开。手一松开，没人吩咐，砝码就按自己的拍子来回振动。那个拍子总是一样。拉得猛还是拉得轻，往返一次的时间不变，这就是这个系统的固有频率。凡是振动的东西，都有它天生的拍子。秋千、桥、楼、音叉都是。那个拍子恰好由两件事决定。弹簧有多硬，也就是刚度，砝码有多重，也就是质量。越硬越快，越重越慢。振动的所有故事从这一幕开始。 拍子由系统的性质决定，不是由手的力气决定。拉开的距离只改高度，时间原样留着。秋千和摩天楼共用这一条。
拖动砝码拉到一边再放开，手一松开，砝码自己开始振动。下面的图显示位移怎样随时间变化，是光滑的波浪。这就是简谐运动。拉得远再放，拉得近再放，波浪的高度变了，波浪起伏一次的间隔却不变。摇得多猛改变不了拍子。拍子由系统自己决定，所以叫做天生的频率。 波浪的高度和波浪的间隔是两件事。一个是手，另一个是系统。放得远或近，波浪的钟不在乎。
现在质量不动，只换弹簧。k 是弹簧的刚度，也就是有多硬。把 k 调大，振动明显变快。硬弹簧把砝码更狠地拉回平衡位置，同样的重量也回得更强、往返更快。硬的跑车弹簧弹得快，软弹簧晃得慢。恢复力越强，拍子越快，这是第一条规则。 拉回去的力越强，往返越短。软的一边把时间拉长，硬的一边把时间缩短。
这次反过来，弹簧不动，只加大质量。块越大砝码越重，把 m 调大，振动渐渐变慢。重的东西惯性大，一旦动了就不想停，停着就不想出发。所以同样的弹簧去拉，重砝码反应迟钝，往返一次更费时间。大钟比小钟响得更沉、更慢。质量越大拍子越慢，这是第二条规则，和刚度的方向正好相反。 惯性大的砝码对同样的力答得晚。出发和停下都变重。大钟不愿意转身，所以费时间。
把两条规则收成一个式子，固有角频率是 ωₙ = √(km)。刚度 k 在分子里，质量 m 在分母里。所以 k 变大频率变大，m 变大频率变小，和刚才看到的一样。套着平方根这一点很要紧。改变 k 和 m 的比 km，曲线是平方根的样子，开头陡，越往后越缓。刚度变成四倍，频率也只快到两倍，所以要把拍子加快到两倍，弹簧得硬到四倍。知道了频率，周期 T = 2πωₙ 和频率 f = ωₙ2π 也马上跟着来。 平方根把拍子养得比刚度慢。所以弹簧改一点，拍子动得比那个改动少。四倍的刚度只买到两倍的拍子。
同样的道理在弹簧外面也一样通。单摆有点特别。单摆的固有频率是 ωₙ = √(gL)，只进绳子长度 L，砝码的重量根本不进。所以无论砝码重还是轻，绳子一样长，就按同一个拍子摇。伽利略看着教堂的枝形吊灯明白的就是这个。高楼像一个巨大的单摆，越高越软越重，摇得越慢，摩天楼顶在风里慢慢摇，理由就在这里。音叉正相反。又短又硬又轻的叉，1 秒里颤几百次，快得耳朵听成一个稳定的音。用按钮换三个，就看见刚度和质量的平衡决定拍子，是同一个故事。 只有绳子的长度定拍子，砝码的重量退出。楼和音叉是那个平衡的两端。