两个质量，两种节拍 — 模态
到目前为止都是一个质量、一个固有频率。可真实的机器有许多互相耦合的部件。把两个质量用弹簧连起来，新现象就出现了。拉动其中一个再松手，运动不是干净的单一节拍，而是看起来很杂乱：能量从一个质量流向另一个，又流回来（拍）。仿佛根本抓不住。然而其中藏着秩序。这个系统恰好有两种能够干净振动的特殊方式，称为模态。一种里两个质量一起动；另一种里它们反向而动。每个模态各有自己的一个频率。而任何运动，无论多杂乱，都不过是这两种模态的混合。两个质量给出两个模态。一座桥或一栋楼则有几百个。工程师驯服复杂结构的办法，正是如此——找出模态。
把两个相等的质量用弹簧连起来（这里是用三根相同弹簧连接的经典布置）。只拉 m₁ 再松手。看：m₁ 摆动，但很快 m₂ 接过了运动而 m₁ 静下来，随后又把运动还回 m₁。能量来回晃荡，这种花样叫作拍。前几讲的单一质量是干净的一个节拍，而这耦合运动看起来很复杂，也不会简单地重复。中间的耦合弹簧，就是在两者之间运送能量的信使。但这表面的混乱藏着一个简单的结构，接下来两步会把它揭出来。
这里就是那藏着的秩序。把两个质量恰好地——同样大小、同样方向——放开。现在完全没有晃荡了：两者步调一致地一起动，以单一干净的频率振动。这就是第一简正模态，同相（对称）模态。因为两个质量一起动，它们之间的耦合弹簧既不伸也不缩，只是被一起带着走。只有外侧的弹簧在出力，所以频率是较低的那个，ω₁ = √(km)，正和单根弹簧上挂一个质量时完全一样。
这次反过来——同样大小但方向相反——放开。同样没有晃荡，只有单一干净的频率，但这次两个质量彼此像镜像一样，总是反向运动。这就是第二简正模态，反相（反对称）模态。这一次，中间的耦合弹簧在每次振动中被压缩和拉伸得最厉害，把它的刚度加进了回复力。刚度越大，频率越高：ω₂ = √(3km)，比第一模态更快。两质量系统恰好有两个模态，这就是规则：N 个质量给出 N 个模态，各有各的频率。
现在是关键的一击。两个质量的任何运动——包括第一步那杂乱的拍——都不过是这两个模态之和：多少分的模态1，加多少分的模态2。最上一行只是模态1，中间一行只是模态2，最下一行是两者之和，也就是实际运动。滑动混合比：当它是纯模态1或纯模态2时，最下行干净地动；而在两者之间，两个频率叠加，block 1 的拍就原样回来了。复杂的运动从来就不复杂；它一直只是两个简单模态加起来。这是一切振动分析的核心思想：把任何运动拆成模态，每个模态都成为一个有自己 ωₙ 的简单振子。
这种理解不止于描述，更成了设计工具。若一栋高楼有危险的共振，工程师会有意加上第二个质量——在顶部、挂在它自己弹簧上的调谐质量阻尼器（TMD），调到它的模态正好落在大楼的共振频率上。现在系统有了两个模态而不是一个，在原来的共振频率处，加上的质量以反相猛烈摆动、吸走能量，于是大楼几乎静止。切换看看：没有 TMD 时大楼剧烈摇晃；有了它，小质量代为起舞，大楼几乎不动。台北101 在顶部附近吊了一颗 660 吨的钢球，正是做这件事；桥梁、烟囱，甚至汽车发动机都用同样的招数。有意加上一个自由度，去抵消一个麻烦的振动。