多自由度 模态
到这里为止，是一个质量、一个固有频率。真实的机器里，好几个零件彼此连在一起。用弹簧把两个质量连起来，就会出现新的事情。拉开一个再松开，运动看起来不是干净的一个节拍，而是乱的，能量从一个质量流到另一个，再流回来。看起来无从捉摸，可是里面有隐藏的秩序。这个系统恰好有两种干净振动的方式，那叫作模态。一种是两个质量一起动，另一种是彼此反向动。每个模态各自带一个频率，再乱的运动也只是这两个模态的混合。两个质量就是两个模态，桥或房屋的模态就非常多。工程师驯服复杂结构的办法，就是找出模态。 不知道模态，那份杂乱就解释不通。找出模态，秩序就回来了。
用弹簧把两个相同的质量连起来。这里用的是三根相同弹簧的经典布置。只拉开 m₁ 再松开，m₁ 先摆，很快 m₂ 接过那份运动，m₁ 安静下来，然后又回到 m₁。能量来回走动的这个样子叫作拍。前面几讲的单个质量是干净的一个节拍，这样连起来的运动看起来复杂，也不会简单地重复。中间的弹簧是在两者之间运送能量的信使。表面的混乱藏着简单的结构，接下来的两步会把那个结构露出来。 信使在两者之间把能量分开。
隐藏的秩序在这里。把两个质量放到同样的大小、同样的方向，再松开。拍完全没有了。两者齐步一起动，以单独一个干净的频率振动。这是第一阶正则模态，同相模态。两个质量一起动，所以中间的弹簧既不伸也不缩，只是被一起带走。只有外侧的弹簧在工作，所以频率是较低的那个，ω₁ = √(km)。这和一个弹簧吊一个质量时一样。中间在休息，就是这个模态的标记。 中间休息，就是标记。
这一次反过来，大小相同、方向相反，再松开。同样没有拍，只有一个干净的频率。两个质量像镜子一样，始终反向运动。这是第二阶正则模态，反相模态。中间的弹簧每一次振动都被压得最紧、拉得最长，把自己的刚度加进恢复力。刚度变大，频率也变高。ω₂ = √(3km)，比 1 号模态更快。两个质量的系统恰好有两个模态，这就是规则。质量有 N 个，模态也有 N 个，各自带着自己的频率。 中间越忙，频率就越高。
现在是决定性的一点。两个质量的任何运动，包括第一步里乱糟糟的拍，都只是这两个模态之和。取一些 1 号模态，再取一些 2 号模态。最上面一行只有 1 号模态，中间一行只有 2 号模态，最下面一行是两者之和，也就是实际运动。移动混合的比例，纯粹是 1 号或 2 号的时候，下面一行走得很干净；夹在中间时，两个频率叠在一起，block 1 的拍就复活了。复杂的运动从来不曾复杂，一直是两个简单模态相加。把任何运动拆成模态，每个模态就是一个带着自己固有频率的简单振子。 加回去，拍也能得到解释。
这个理解不只是说明，它会变成设计工具。高楼若有危险的共振，工程师会有意再加第二个质量。用自己的弹簧吊在楼顶的，就是调谐质量阻尼器（TMD）。把它的模态调到大楼的共振频率上。现在模态不是一个而是两个，在旧的共振频率上，加上去的质量以反相猛烈摆动，把能量吸走，大楼几乎不动。切换一下，没有 TMD 时大楼晃得很厉害，有了之后小质量代替它动，大楼几乎不动。台北 101 在靠近楼顶的地方吊着一个 660 吨的钢球，做的就是这件事。桥、烟囱、汽车发动机也用同一手法。多加一个自由度，把棘手的振动抵消掉。 小质量替大结构承受那份晃动。