强迫振动 共振
上一讲的自由振动，松手之后就会平息。这一讲则一直推着这个系统。想起秋千，画面就清楚了。随便推，它升不了多高；顺着秋千天生的节拍推，它会越荡越高。秘密就在那个节拍里。用周期性的力去摇一个系统，系统最终会按推动的节拍振动。当那个节拍等于系统的固有频率 ωₙ，推力每一次都顺着运动的方向把能量加进去。振幅就在那时长得很大。拦住它的只有阻尼。哪怕很小的力，只要节拍对上，也能把桥摇动，单凭嗓音也能震碎玻璃杯。节拍恰好重合的这种现象就是共振，它是振动里最重要、也最危险的概念。
用周期性的力 F = F₀cos(ωt) 去推这个系统。一开始会短暂出现混着上一讲自由振动的瞬态响应，等它平息，系统就进入稳态摆动。关键在于，系统不是以自己的固有频率 ωₙ 摆动，而是以推动一方所定的驱动频率 ω 摆动。那个振幅是静变形 F₀k 乘上倍率 M，而这个 M 取决于频率比 r = ωωₙ。ω 离 ωₙ 远时，质量几乎不动。ω 接近 ωₙ 时，振幅就胀起来。系统在按它天生的节拍被推动时，动得最情愿。节拍一错开，同样的力也几乎推不动质量。
把倍率 M 对频率比 r 画出来，就得到共振曲线。它是 M = 1√((1−r²)²+(2ζr)²)，曲线分成三个区。r 小的时候，也就是慢慢推的时候，M ≈ 1。质量几乎原样跟着力走，只变形 F₀k 那么多，像静力一样动。r 在 1 附近时，分母几乎变成 0，M 就窜成一个尖峰。那就是共振。r 大的时候，也就是推得很快的时候，M → 0，质量太迟钝，跟不上，几乎没有反应。r ≈ 1 的峰是这条曲线的核心。按固有频率去推，响应会放大好几倍。
不让峰无限制地往上长的，是阻尼。在共振（r = 1）处，(1−r²) 这一项变成 0，于是抓住振幅的只剩 2ζr 这一项，也就是阻尼。改变 ζ，阻尼轻时峰又高又尖，变得危险；阻尼大时峰又低又钝。峰的高度大约是 1(2ζ)，这个量叫作品质因数 Q。几乎没有阻尼的钟或酒杯（高 Q）会以尖锐、纯粹的共振鸣响，阻尼良好的机器支座（低 Q）则几乎没有反应。工程师增加阻尼，不是为了搬走固有频率，而是为了驯服共振峰。
这个故事还有另一半，那就是相位。响应总是比驱动力落后一个角度 φ。在共振以下（r < 1），落后很小，质量和力几乎一起动。正好在共振（r = 1），落后恰好是 90°，也就是 14 个周期。这时力总是顺着质量已经在走的方向推，所以能量进得很有效，振幅就长大。在共振以上（r > 1），落后接近 180°，质量与力反向运动，彼此顶着。于是几乎传不过去什么。看驱动点和响应点：它们先一起动，再错开 14 个周期，然后转到正相反的方向。
共振无论好坏，到处都在。塔科马大桥（1940）在风把能量送进桥的固有频率之后自己扭断倒塌，成了警告破坏性共振的教科书。歌唱家把音高拉长到与酒杯的固有频率一致，就能震碎杯子。士兵过桥时故意打乱步伐，是为了不让行军的节拍套上桥的固有频率。共振也有用处。收音机调谐是把电路的固有频率调到与一个电台共振，其余信号则不予理会。作为从许许多多信号里挑出一个的滤波器，共振是同一套物理，意图却正好相反。挑出一个，和放任全部，差别就在节拍。