共振 — 当微小的力变成剧烈的摇晃
上一讲的自由振动，一旦松手就平息了。这次我们持续地推。想想秋千。在随便的时刻去推，它几乎升不高。可一旦顺着秋千自己的节拍去推，它就越荡越高。秘密全在这里。用周期性的力去摇一个系统，系统最终会按你给的节拍振动。若这节拍恰好与系统的固有频率 ωₙ 相同，每一次推都沿着运动正在进行的方向添加能量，振幅便会暴涨。是什么拦住它？只有阻尼。哪怕很小的力，只要节拍对上，就能把桥摇垮，能用嗓音震碎玻璃杯。这种节拍对上的现象，就是共振——振动中最重要、也最危险的概念。
用周期性的力 F = F₀cos(ωt) 去推系统。起初会出现一段还带着上一讲自由振动的瞬态，但等它平息后，系统就进入稳态。关键在这里：系统并不以自己的固有频率 ωₙ 振动，而是以你施加的驱动频率 ω 振动。它随你给的节拍起舞。其振幅是静态变形 F₀k 乘以一个放大倍数 M，而这个 M 取决于频率比 r = ωωₙ。移动 ω：离 ωₙ 远时质量几乎不动，但当 ω 靠近 ωₙ，振幅就鼓胀起来。系统在被以自己天生的节拍推动时，动得最起劲。
把这个放大倍数 M 对频率比 r 画出来，就得到共振曲线，M = 1√((1−r²)²+(2ζr)²)。它分成三个区。r 小时（推得慢），M ≈ 1：质量几乎照搬那个力，只变形 F₀k，仿佛力是静态的。r 在 1 附近时，分母几乎为零，M 飙升成一个尖峰——这就是共振。r 大时（推得快），M → 0：质量太迟钝跟不上，几乎没有反应。r ≈ 1 处的峰是核心：按固有频率去推，响应就被放大许多倍。
是什么阻止峰冲到无穷？阻尼。在共振（r = 1）处，(1−r²) 项为零，所以唯一拦住振幅的就是 2ζr 项，也就是阻尼。移动 ζ：阻尼轻，峰就高、尖、危险；阻尼大，峰就低而钝。峰高大约是 1(2ζ)，称为品质因数 Q。几乎没有阻尼的钟或酒杯（高 Q）以尖锐纯净的共振鸣响，而良好阻尼的机器底座（低 Q）几乎不反应。这正是工程师加阻尼的原因：不是去改变固有频率，而是去驯服共振峰。
故事还有另一半：相位。响应总是比驱动力滞后一个角度 φ。在共振以下（r < 1），滞后很小，质量与力几乎一起动。恰在共振（r = 1）处，滞后正好是 90°，即四分之一周期：此时力总是朝着质量已经在走的方向推。正因如此，能量才进得那么高效，振幅才长起来。在共振以上（r > 1），滞后趋近 180°：质量与力反向而行、彼此对抗，于是几乎传不进去。看那个驱动点和响应点：它们从一起动，到错开四分之一周期，再到反向而动。
共振无处不在，有好也有坏。塔科马大桥（1940）在风把能量送进桥的固有频率后，自己扭曲着塌了——这是教科书里关于破坏性共振的警告。声乐家能靠唱出与酒杯固有频率相合的音、并持续地唱，把杯子震碎。士兵过桥时之所以打乱步伐，就是为了让行进的节拍不要卡上桥的固有频率。但共振也有用：收音机调谐，就是把电路的固有频率调到与某个电台共振、而无视其余——这是作为滤波器、从成千上万信号里挑出一个的共振。同样的物理，相反的意图。