振动为何会平息 — 阻尼
上一讲说，理想的振动会永远保住能量，不会停。可现实里的振动都会停：拨响的吉他弦渐渐消失，敲过的钟很快安静，过了减速带的汽车晃几下就稳住。为什么？因为能量正从某处漏掉。摩擦、空气阻力、材料内部的损耗——我们把这些统称为阻尼。把系统想成带一个阻尼器（黏性摩擦装置）。阻尼器发出与运动相反的力，每个周期都把一点能量变成热抽走。于是每来回一趟到达得就少一点，最后停下。衡量阻尼有多重的那一个数，就是阻尼比 ζ。还有一个意外在等着：阻尼足够大时，振动根本不会发生，它只是慢慢地沉回原位。
上下两个系统是同样的弹簧和质量，只有一处不同：下面那个带了阻尼器。两者从同样的幅度松开，上面（无阻尼器）一直以同样幅度摆动，而下面（有阻尼器）每来回一趟到达得就少一点。阻尼器里，活塞推过黏性流体，把动能变成热。那个力总是与速度相反，所以它只会抽走能量，绝不会增添。这就是为什么上一讲的 ½kx²+½mv² = 常数 不再成立：这个和正在漏。到达幅度的缩小，正是能量流失的可见证据。由于能量按幅度的平方（E∝A²），幅度减半时只剩四分之一的能量。下面的数字显示还剩多少能量。
阻尼较轻时，系统仍然振动，但已被关进一条越来越窄的指数包络里。用式子写就是 x(t) = A·e−ζωₙt·cos(ωd t)。橙色虚线就是那条包络 e−ζωₙt，蓝色曲线是在其中摆动的位移。这里有个关键直觉：幅度每个周期缩小的不是固定的量，而是固定的比率。看那些金色的波峰点：下一个峰总是前一个峰的同一倍率 r。若第一个峰从10降到8，下一个就从8到6.4，再下一个6.4到5.12——都是乘0.8。这个恒定比率的对数叫作对数衰减率，所以只要量两个峰，就能知道系统阻尼有多大。增大 ζ，包络会更陡。
衡量阻尼的那一个数，就是阻尼比 ζ = c(2√(km))。这里 c 是黏性阻尼系数（阻尼器有多强），k 和 m 是你已经熟悉的刚度和质量。ζ 把这三者拧成一个无量纲的旋钮，所以无论系统大小，只要 ζ 相同，就以同样的形状平息。增大 ζ，会同时发生两件事。第一，理所当然，平息得更快。第二，摆动本身也略微变慢。有阻尼时，系统不再以固有频率 ωₙ 摆动，而是以略低的阻尼频率 ωd = ωₙ√(1−ζ²) 摆动。阻尼轻（ζ 小）时 √(1−ζ²) 几乎为 1，所以 ωd ≈ ωₙ；但当 ζ 接近 1，ωd 就跌向零，正处在摆动即将消失的边缘。
ζ 一越过 1，连行为的种类都变了。看给质量一个位移、从静止松开后的复归曲线。欠阻尼（ζ<1）会冲过零点到另一侧再回来，来回振荡。临界阻尼（ζ=1）不过冲，一次都不越过零点，以最快速度回到原位（金色虚线）。过阻尼（ζ>1）同样不过冲，但太黏，慢吞吞地爬回去。用滑块把 ζ 从 0 移到 2，当前曲线就在这三种形状之间游走。这里要紧的是：临界阻尼很特别。ζ=1 恰是不过冲又最快停住的那条边界，所以最适合那些既要快速稳定、又不能有振荡的设计。
这三个区不只是数学，更是工程师有意做出的设计选择。汽车的减震器调成略微欠阻尼（ζ≈0.3）：过了减速带，柔和地晃一两下就稳住——太硬乘坐颠簸，太软则一直晃。闭门器在临界附近（ζ≈0.9），因为它既不能砰地关上，也不能回弹开，而要平稳地恰好关好。仪表指针或某些液压装置是过阻尼（ζ≈1.6）：慢一点没关系，要紧的是不晃地停在一个值上，好准确读出。用按钮在三者之间切换，你会看到同一个 ζ 的道理，在不同机器里给出不同的答案。