阻尼自由振动
上一讲里，理想的振动会永远保住能量，所以不会停。现实里的振动却总会停下来。拨响的吉他弦渐渐消失，敲过的钟很快安静，过了减速带的汽车晃几下就稳住。能量正从运动里漏出去。摩擦、空气阻力，还有材料内部的损耗，合在一起就叫阻尼。把系统想成带着一个阻尼器，也就是黏性摩擦装置。阻尼器发出与运动相反的力，每个周期都把一点能量变成热抽走。往返越多次，到达的幅度就越小，最后终于停住。阻尼有多重，写成一个数就够了，那就是阻尼比 ζ。阻尼大到一定程度，振动根本不会开始。质量不会冲到另一侧，只是慢慢沉回原来的位置。变成热的那一份，不会再回到运动里。
上下两个系统是同样的弹簧和同样的质量，不同的地方只有一处。下面那个装着阻尼器。两者从同样的幅度松开，上面（无阻尼器）一直保持那个幅度，下面（有阻尼器）每来回一趟到达得就少一点。阻尼器里，活塞推过黏性流体，把动能变成热。那个力总是与速度相反，所以它只会抽走能量，不会把能量添回去。于是上一讲的 ½kx²+½mv² = 常数 不再成立，这个和正在漏。到达幅度的缩小，就是能量已经离开的可见证据。能量按幅度的平方变化（E∝A²），幅度变成一半时，能量只剩下 4 分之 1。下面的数字显示还剩多少。
阻尼较轻时，振动还在，但已被关进一条越来越窄的指数包络里。位移写成 x(t) = A·e−ζωₙt·cos(ωd t)。橙色虚线就是包络 e−ζωₙt，蓝色曲线是在其中来回的位移。幅度每个周期减去的不是固定的长度，而是固定的比率。顺着金色的波峰看，下一个峰总是前一个峰的同一倍率 r。第一个峰从 10 降到 8，下一个就从 8 到 6.4，再下一个从 6.4 到 5.12，每次都是 0.8 倍。这个恒定比率的对数叫作对数衰减率。只要量两个峰，就能知道系统的阻尼有多大，把 ζ 增大，包络会更陡。包络更陡时，同样时间之后剩下的幅度也更小。用比率来读，比用长度来读更合适。
衡量阻尼的那个数，就是阻尼比 ζ = c(2√(km))。这里的 c 是黏性阻尼系数，也就是阻尼器有多强，k 和 m 是已经见过的刚度和质量。ζ 把这三者拧成一个无量纲的旋钮，所以无论系统大小，只要 ζ 相同，平息的形状就相同。增大 ζ，两件事一起发生。平息变快，摆动本身也略微变慢。有阻尼时，系统不再以固有频率 ωₙ 摆动，而是以更低的阻尼频率 ωd = ωₙ√(1−ζ²) 摆动。阻尼轻的时候 √(1−ζ²) 几乎是 1，所以 ωd ≈ ωₙ；当 ζ 接近 1，ωd 就跌向 0。那正是摆动即将消失的前一刻。一个旋钮就决定平息的形状，与系统大小无关。
ζ 一越过 1，连行为的种类都变了。给质量一个位移，再从静止松开，复归曲线的分岔很清楚。欠阻尼（ζ<1）会越过 0，冲到另一侧再回来，来回振荡。临界阻尼（ζ=1）一次都不越过 0，不过冲，以最快的速度回到原位（金色虚线）。过阻尼（ζ>1）同样不过冲，可是太黏，只能慢吞吞地爬回去。用滑块把 ζ 从 0 移到 2，当前曲线就在这三种形状之间走动。临界阻尼特别，是因为 ζ=1 恰好是不过冲又最快停住的那条边界。它适合既要尽快稳住、又不想留下振荡的设计。不留下振荡的最快复归，就是临界的意思。
这三个区不是留在纸上的数学，而是工程师有意做出的设计。汽车减震器调成略微欠阻尼（ζ≈0.3）。过了减速带，它柔和地晃一两下就稳住，因为太硬乘坐颠簸，太软则晃个不停。闭门器放在临界附近（ζ≈0.9）。它不能砰地关上，也不能回弹打开，而要平稳地恰好关好。仪表指针和某些液压装置是过阻尼（ζ≈1.6）。慢一点没有关系，要紧的是不晃地停在一个值上，好把刻度读准。用按钮换这三台机器，同一个 ζ 的道理会给出不同的答案。选同一个数，就是在选乘坐、关门和读数的准确。