功等于动能的变化

用恒定的力 F 把箱子推过距离 d。所做的功是 W = F·d，力乘距离。下面的图里横轴是移动距离，纵轴是力，功就是其下方涂色长方形的面积。拖动 d，面积随距离成正比增大。单位是 N·m，叫作焦耳（J）。要注意一点：功只计入力中沿运动方向的分量。若力与运动垂直（如圆周运动的向心力），功为 0。即使你举着东西站着不动，向上支撑的力也不做功，因为没有移动的距离。功，就是力沿着距离实际推动的量。

所做的功去哪了？在无摩擦的地面上，合力所做的功原原本本地变成动能。给一个已经有些动能的箱子再做功 W，动能就恰好增加那么多。用滑块加大所做的功 W。动能条增长 W，速度也随之变快。写成公式 W = ΔKE = KE_末 − KE_初。这就是功能定理。好处在于：你不必知道中途力如何变化、花了多少时间，只看开始和结束的动能，就立刻知道这期间合力做了多少功。做负功（与运动反向，如刹车）则动能减少、速度变慢。

来看看动能究竟是什么。质量为 m 的物体以速度 v 运动时具有的动能是 KE = ½mv²。拖动 v 滑块，动能随速度的平方增大。速度翻倍，动能就是四倍。这与前面看到的 v² = v₀² + 2a·Δx 成对：两边乘以 ½m，正好得出功能定理本身。速度以平方进入这一点，在现实中作用得很可怕。汽车速度翻倍，动能就是四倍，停下来所需的功也是四倍，刹车距离也是四倍。碰撞伤害对速度如此敏感，原因就在这里。

力并不总是恒定的。即便如此，功永远用同一种方法求：F-x 图下方的面积。用按钮改变力的形状。恒力时面积是长方形，所以 W = F·d。像拉弹簧那样随距离成正比增大的力（F = kx），面积是三角形，所以 W = ½kx²。逐渐减小的力又是另一种形状。无论什么形状，功都是把曲线下方的面积聚拢起来，也就是力对距离的积分。这与上一讲把速度对时间积分得到距离，是完全相同的积分，只不过这次是沿距离而非时间累积。连乘法行不通的变力，用面积来看也总能解出。

最后是功率。做同样的功，更快完成就更强劲。功率是单位时间所做的功，P = Wt。而如果你在恒力下以速度 v 运动，功率可以干净地写成 P = F·v。拖动 v 滑块，同样的力下，越快功率越大。单位是瓦特（W），一瓦特就是每秒做一焦耳。电梯把同样的重量提到同样的高度，提得快的马达就要更大的功率；汽车要在更高速度下输出同样的力，就需要更强的发动机。如果说功是能量的总量，功率就是把它倾泻出来的速度。下一讲，我们把这种能量扩展到势能，走向能量守恒——只要只有保守力，动能与势能之和就保持不变。