转动动能

转动物体的能量与角速度的平方成正比地增大。下图是转动惯量 I = 2.0 kg·m² 的车轮以角速度 ω 转动的情形，右侧条形表示转动动能 KE = 12 I ω² 的大小。初始值 ω = 2.00 rad/s 时 KE 为 4.0 J；把 ω 加倍到 4.00 rad/s，条形填满，为 16.0 J，即四倍。把 ω 减半到 1.00 rad/s，则降到 1.0 J。这个式子是把 v = r ω 代入车轮各部分的 12 m v² 再全部相加得到的，转动惯量占据质量的位置，角速度占据速率的位置。因此同样的角速度下，质量集中在边缘的车轮储存的能量更多，飞轮正是靠这个原理储存能量的。

力矩也像力一样做功：力矩 M 使物体转过角 θ 时，所做的功为 W = M θ。下图是 2.0 N·m 的力矩使车轮转过 θ 的情形，金色弧是转过的角，右侧绿色条形是所做的功。初始值 θ = 3.00 rad 时 W = 6.0 J；把 θ 加倍到 6.00 rad，功也加倍为 12.0 J。这与直线运动的 W = F d 形式相同，只是力换成了力矩、距离换成了角度，而且角度必须用弧度来量。同样的力矩转得越快，做功就越快，所以功率为 P = M ω，以 3 rad/s 转动时为 6 W。

滚动的物体同时具有中心移动的平动能量 12 m v² 和转动的能量 12 I ω²。下图是质量 1 kg 的圆盘（β = 12）无滑滚动的情形，蓝色部分是平动的份额，橙色部分是转动的份额。初始值 v = 2.5 m/s 时平动为 3.1 J，转动为 1.6 J，共 4.7 J；把 v 提高到 4.0 m/s，则为 8.0 J 和 4.0 J，共 12.0 J。滚动时 v = r ω、I = β m r²，所以转动的份额为 12 β m v²，总动能整理为 12 m v² (1 + β)。圆盘的 β = 12，所以转动的份额总是平动份额的一半。

沿斜面滚下的物体，失去多少势能 m g h 就得到多少动能，而这份动能分为平动和转动两部分。下图是 1 kg 的圆盘从高 h 的斜面顶端出发的情形，上方条形是起初的势能，下方条形是到达底部时的动能，两根条形一样长。初始值 h = 2.0 m 时势能为 19.6 J，分为平动 13.1 J 和转动 6.5 J，底部速率为 5.11 m/s。如果无摩擦地滑下，19.6 J 会全部变为平动能，速率可达 6.26 m/s，所以滚动的圆盘比它慢。把 h 提高到 4.0 m，势能为 39.2 J，底部速率为 7.23 m/s；速率 v = √(2 g h / (1 + β)) 与高度的平方根成正比。

即使从同一高度出发，不同形状到达底部的速率也不同，与无摩擦滑下时速率之比为 1/√(1 + β)。下图中初始状态的圆盘为 0.816，圆环为 0.707，球为 0.845；绿色条形的长度就是这个比值，三条刻度是三种形状的值。高度为 2 m 时，滑下的速率为 6.26 m/s，而球为 5.29 m/s，圆盘为 5.11 m/s，圆环为 4.43 m/s，球最先到达。质量越像圆环那样集中在边缘，同样的速率下就要把越多的能量用于转动，留给平动的份额就越少。这个结果里既没有质量也没有半径，所以大球小球只要形状相同，在同一斜面上就会同样地滚下。