速度是位置的斜率，加速度是速度的斜率
一个粒子在直线上运动。拖动时间，它就滑着从一处移到另一处。但仔细看：有些区段它一冲而过，有些区段几乎停着不动。哪怕同样是一秒，走过的路也不一样。位置这样变得有多快，正是速度。而连这速度也时刻在变，先变快，又变慢。速度变得有多快，就是加速度。从位置到速度，从速度到加速度，每往上一层，所做的事都一样：问它变得有多快。这就是微分。这一个简单的操作，撑起了整个粒子运动学。反过来用累加的积分，又能一路回溯到位置。
先拖动时间 t 让粒子动起来。推动滑块，粒子就沿着直线移动，每一时刻的位置 x 显示在下面。它一开始走得慢，到中间一下子前进，临近末尾又慢下来。看那些按相等时间间隔打下的标记就一目了然：标记密的区段走得慢，稀疏的区段走得快。现在只记住一件事：时刻定了，位置就定了。这个 x(t) 的关系把整个运动都装在里面。从下一幕起，我们就来挖这个位置变得有多快。
现在把位置摊开成对时间的图。横轴是时间 t，纵轴是位置 x。用时间拖动曲线上的点，贴着它的切线也跟着动。这条切线的斜率就是速度。v = dx/dt，也就是时间只流逝一丁点时位置变了多少。曲线陡的中段斜率大，所以快；几乎平的两端斜率接近 0，等于停住了。速度不是位置本身，而是位置的变化率，不是高度而是坡的陡峭。所以东西可以已经跑得很远却在那一刻静止，也可以就在起点附近却飞快。
把完全一样的事往上挪一层。这次是速度对时间画的图。除了纵轴换成速度 v，跟刚才如出一辙。用时间拖动点，切线的斜率这次是加速度。a = dv/dt，速度变得有多快。出发后不久速度越来越大，所以斜率为正，就是加速。速度到达最高的那一刻图是个峰顶，斜率为 0，那一瞬加速度也是 0。之后速度减小，斜率为负，就是减速。关键在于：所做的操作是一样的。求变化率的微分，用在位置上得到速度，用在速度上就得到加速度。
把三个图上下叠起来一眼看全。上面是位置 x，中间是速度 v，下面是加速度 a。用按钮切换运动，看形状如何彼此咬合。匀速时位置是笔直的斜坡，速度是平的水平线，加速度为 0。匀加速时位置是弯曲的抛物线，速度是笔直上升的直线，加速度是恒定的水平线。规则始终一样：上面图的斜率，就是紧挨着下面那张图的高度。位置陡的地方速度高，速度陡的地方加速度大。每往下一格就是一次微分，这条链把三行绑成一体。
既然微分朝一个方向走，理应也能反着回去。回到速度图，拖动时间 t。曲线下方从 0 到现在一路被颜色填满。这块涂色的面积，正是到目前为止走过的距离，也就是位置的变化。因为速度乘时间就是距离，把每一时刻的 v 沿时间累积起来的面积，就成了总位移。这就是积分。如果说微分是从曲线上抽出斜率，积分就是把曲线下方的面积聚拢起来。一直拖到底，面积之和与从起点到终点的距离严丝合缝。所以哪怕只知道加速度，也能累加成速度，再把速度累加成位置。微分与积分，是同一架梯子上下的两个方向。