位置 速度 加速度 是什么
一个质点沿直线运动。顺着时间看，它有的路段一闪而过，有的路段慢得几乎停住，因为在同样的 1 秒内，不同路段走过的距离不一样。表示位置变化快慢的量是速度；如果速度本身也时刻在变，就还要另外衡量速度变化的快慢，那就是加速度。从位置到速度、从速度到加速度，每升一级做的都是同一件事：问变化有多快，也就是求导。反过来，沿着把变化累积起来的积分走，就能从加速度回到速度，再从速度回到位置。整个质点运动学就建立在这两种运算之上。
用滑块拖动时间 t（秒），金色质点沿直线轨道移动，当前位置 x（米）同时显示在质点上方和下方的读数中。淡色小圆圈是每隔相同时间质点所在位置留下的痕迹：两端密，中间疏。痕迹密的路段走得慢，疏的路段走得快，所以这个质点慢慢出发，在中间最快，到最后又慢下来。时间一确定，位置就唯一确定，这个关系 x(t) 包含了运动的全部信息。接下来的几个画面，要追问这个位置变化得有多快。
这次把同样的运动展开成图像：横轴是时间 t，纵轴是位置 x，绿色曲线就是上一个画面的运动。用滑块改变时间，曲线上的点会带着一条蓝色切线一起移动。这条切线的斜率就是速度 v = dx/dt，也就是在极短时间内位置变化了多少。曲线陡峭的中段斜率大，运动快；平坦的两端斜率接近 0，几乎停住。速度是坡的陡峭程度，而不是曲线的高度，所以离出发点很远时也可能那一刻静止不动，在出发点附近也可能运动得很快。
在高一层上重复同样的事。这张图的纵轴是速度 v，蓝色曲线表示速度的变化，点上橙色切线的斜率就是加速度 a = dv/dt，也就是速度变化的快慢。刚出发时速度在增大，斜率为正，加速度也为正。在速度最大的峰顶，切线水平，斜率为 0，那一瞬间的加速度也是 0。此后速度减小，斜率为负，也就是减速。关键在于：对位置求导得到速度，对速度再做同样的求导就得到加速度。
把三张图上下叠起来，关系一目了然：上面是位置 x，中间是速度 v，下面是加速度 a。用按钮切换运动类型，比较三条曲线如何相互对应。匀速运动时，位置是一条直的斜线，速度是水平线，加速度为 0。匀加速运动时，位置是弯曲的抛物线，速度是笔直上升的直线，加速度是一条水平线；在加速度变化的运动中，三条曲线都是弯的。无论哪种情况，上一张图的斜率就是下一张图的高度：位置陡的地方速度大，速度陡的地方加速度大。
既然求导能往一个方向走，就应该也能反方向走回来。回到速度图像，用滑块拖动时间 t（秒），曲线下方从 0 到现在的部分被涂成蓝色，这块面积就是这段时间内的位移。速度乘以时间是距离，所以把每一刻的 v，也就是当时的速度，在时间上累积起来的面积，就是总位移。这就是积分：求导从曲线中取出斜率，积分则把曲线下方的面积汇集起来。一直拖到最后，面积正好等于从起点到终点的距离。所以累积加速度可以得到速度，累积速度可以还原位置。