切向加速度 法向加速度

用滑块沿弯曲道路移动金色的点，蓝色速度箭头无论在哪里都紧贴道路，指向切线方向。道路向上弯，箭头就向上；向下弯，箭头就向下，始终朝着前进的一侧，从不横穿道路或指向后方。这看似理所当然，却是曲线运动的出发点。速度表示位置朝哪个方向变化，而沿道路滑动的点在那一刻正是朝道路延伸的方向运动。所以沿曲线转弯时，速度的方向时时刻刻都在变，必定有某种东西在引起这种方向的变化。

加速度能做的第一件事是改变速率。图中定格了圆弧上某一处的一个瞬间，滑块改变的是切向加速度 a_t，也就是沿道路作用的加速度。a_t 为正时，加速度箭头与蓝色速度 v 指向同一侧，下方读数显示“加速”；a_t 为负时，箭头指向反方向，显示“减速”。其大小为 a_t = dv/dt，正是前面几讲中速率的变化率。要点在于，切向加速度与方向毫无关系，只负责增大或减小速率。把 a_t 调到 0，速率就保持不变；但在曲线上，即使速率不变，方向仍在改变，所以加速度依然存在。剩下的这一部分留到下一张图讨论。

这次保持速率不变，看只改变方向的加速度。圆弧上的点即使速率不变，速度方向也在不断改变，所以存在加速度；它垂直于道路，指向曲线弯进去的内侧，也就是曲率中心，称为法向加速度。其大小为 a_n = v²ρ，ρ 是该处与曲线最贴合的圆的半径，即曲率半径。拖动速率 v 的滑块把速率加倍，下方读数中的 a_n，也就是指向内侧的橙色箭头的大小，会变为原来的四倍，因为速率 v 是以平方出现的。曲线弯得越急，也就是 ρ 越小，在同样的速率下 a_n 就越大，所以越急的弯道需要越大的向内拉力。

最简单的情形是匀速圆周运动。以恒定速率绕圆运动，切向加速度为 0，只剩下法向加速度；因为它指向圆心，所以叫作向心加速度。用位置滑块让点沿圆转一圈，蓝色速度箭头始终与圆相切并随之转动，而橙色加速度箭头无论在哪里都笔直地指向圆心，大小也始终是 v²r。你也许会问：速率没变，为什么会有加速度？因为加速度是速度的变化，而不是速率的变化，仅仅方向改变，速度就已经变了。地球拉住月球的引力、用绳子甩动的石块、旋转的游乐设施，都可以用这个向心加速度来解释。

现在把两者合起来。沿曲线运动的物体的实际加速度，是切向分量与法向分量的矢量和；用按钮在三种情况之间切换，差别就很明显。速率不变时切向分量为 0，金色的合加速度单纯指向内侧。加速时切向分量向前叠加，合加速度向前进方向倾斜；减速时切向分量指向后方，合加速度也向后倾斜。无论哪种情况，只要沿曲线运动，指向内侧的橙色法向分量 a_n = v²ρ 就不会消失；总的大小是两个分量按直角合成的 a = √(a_t² + a_n²)。归根结底，理解曲线运动的加速度，就是把它分解成沿道路的部分和横穿道路的部分来看。