曲线运动的加速度分成切向与法向

用滑块让弯路上的点动起来。速度箭头在任何位置都贴着路，指向切线方向。路向上弯，箭头就朝上；向下折，箭头就朝下，始终朝着前进的方向。它从不横穿道路或朝后。看似理所当然，但这正是曲线运动的起点：速度告诉你位置正往哪儿动，而沿路滑行的点，在那一刻就朝着路伸展的方向动。所以绕弯时速度的方向时刻在变，必定有什么东西在引起这个方向的改变。

加速度能做的第一件事，是改变速率的大小。用滑块调节切向加速度 a_t。a_t 与速度同向（朝前）时，点越来越快；反向（朝后）时则变慢。这个加速度始终沿着路、也就是切线方向作用，所以叫切向加速度。它的大小是 a_t = dv/dt，正是前面讲过的速率变化率。要点是：切向加速度与方向毫不相干，它只让速率增大或减小。把 a_t 设为 0，速率就恒定。可是在曲线上，即便速率恒定，加速度依然存在，因为方向在变。那剩下的部分，下一幕再看。

这次固定速率，只看改变方向的加速度。让点沿圆弧绕行，速率不变。可由于速度的方向不断转动，仍然有加速度。这个加速度垂直于路，指向弯道内侧、也就是曲率中心，所以叫法向加速度。它的大小是 a_n = v²ρ，其中 ρ 是曲线在该点所描出的圆的半径，即曲率半径。拖动 v 滑块。速率翻倍，a_n 就跳到四倍，因为 v 是以平方进入的。而且转得越急（ρ 越小），a_n 越大。同样的速率，越紧的弯需要越强的向内拉力。

最干净的情形是匀速圆周运动：以恒定速率绕圆而行。速率恒定，所以切向加速度为 0，剩下的只有法向加速度。这个有个专名，叫向心加速度，意思是指向中心。拖着点绕圆走一圈。速度箭头始终与圆相切、团团转，而加速度箭头在任何位置都不变地笔直指向圆心。它的大小也恒为 v²r。这听起来也许奇怪：速率不变，怎么会有加速度？因为加速度是速度的变化，而不是速率的变化，仅仅方向改变就已经让速度变了。拴住月亮的引力、系在绳上的石头、旋转的游乐设施，都由这个向心加速度来解释。

现在把两者合起来。沿曲线奔跑的物体，真正的加速度是切向加速度与法向加速度的矢量和。用按钮切换三种情况。速率恒定时切向分量为 0，所以加速度纯粹指向内侧。正在加速时切向分量朝前叠加，整体加速度偏向前进方向。正在减速时切向分量朝后，加速度向后偏。无论哪种情况，只要路在弯，朝内的法向分量 a_n = v²ρ 就始终存在。总大小是两者成直角相加，a = √(a_t² + a_n²)。归根结底，理解曲线运动的加速度，就是把它拆成沿路的一部分和横穿路的一部分。下一讲，我们转到旋转的刚体，用角速度 ω 和角加速度 α 再讲一遍同样的故事。