天体与轨道力学

行星在椭圆上扫过相等的面积

行星沿以太阳为一个焦点的椭圆运行。相等时间扫过相等面积，所以在近日点更快。周期与半长轴由 T² ∝ a³ 联系。

开普勒盯着火星多年的位置数据，最终放弃圆而选择了椭圆。三条定律把轨道的形状、速度和周期连成一幅图。

第一定律：轨道是椭圆，太阳位于它两个焦点之一。当离心率 e 为零时是完美的圆，e 越大越拉长。离太阳最近的点是近日点 r = a(1−e)，最远的点是远日点 r = a(1+e)。

第二定律：连接太阳与行星的线在相等时间里扫过相等面积。所以行星在近日点附近跑得快，在远日点附近走得慢。这条面积法则正是角动量守恒的另一种说法。

第三定律：周期的平方与半长轴的立方成正比。写成 T² = a³（T 以年为单位，a 以天文单位为单位），它表示离得越远的行星绕一圈所需的时间越长。

把等面积定律换成速度来读，离太阳越近就越快。近日点速度与远日点速度之比为 (1+e)/(1−e)。把位置与速度联系起来的，是下一讲要展开的活力公式 v² = μ(2/r − 1/a)。

现在把三条定律放在一个画面里看。行星绕椭圆运行时，从太阳伸出的扇形以恒定速率被填满。已经过去的周期百分比，始终等于已经扫过的面积百分比。

实际应用知道离心率就能立刻得到近日点和远日点的距离（r = a(1∓e)），仅凭半长轴就能定出周期 T = a¹.5。有了等面积定律，你可以用 (1+e)/(1−e) 之比估算轨道上任意处的相对速度。