天体与轨道力学

引力与距离的平方成反比

两个质量以 F = GMm/r² 相互吸引。当引力恰好等于向心需求，即 v = √(GM/r) 时，出现圆轨道。月亮不是没在下落，而是一直在向侧方下落。

两个物体之间的引力与它们质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。距离加倍，引力就减弱到四分之一。仅凭 F = GMm/r² 这一行公式，就能用同一条规则解释苹果下落和月球绕地球运行。月球之所以不掉下来，是因为它侧向移动得足够快，一边下落一边不断错过地球。

中心质量周围画出的箭头表示在那里感受到的引力方向和强度。当你增大距离 r 时，箭头会随距离的平方急剧变短。r 加倍，引力变为四分之一；变为三倍，则为九分之一。拖动滑块，亲眼看看场强减弱得有多快。

引力以大小完全相等的力把两个物体拉向彼此。然而较轻的一方加速得多得多。它的加速度与对方的质量成正比，再除以自身的质量。增大较重的质量，你会看到两个力箭头保持相等，而只有较轻物体的加速度箭头在变长。

轨道是同时下落与侧向偏移之间的平衡。侧向速度太慢就会向内俯冲，太快就会向外飞出。只有恰好 v = √(GM/r) 时，下落的量与侧移的量才彼此匹配，形成圆轨道。拖动速度滑块，找出俯冲、绕圆与逃逸之间的分界。

你的体重等于该高度处的 g 乘以你身体的质量。升得越高，g = GM/r² 就越小，因此秤上的读数也随之下降。但在国际空间站上秤读数为零，并不是因为引力消失了。空间站和宇航员一起处于自由落体状态，所以彼此从不相互挤压。升高高度并切换到自由落体，看看体重如何变化。

像地球这样的圆形天体所产生的引力，从外面看来，就好像它的全部质量都集中在中心的一个点上。这就是壳层定理。在表面之外，点质量与球体完全重合，只有进入内部才会出现差异。用开关在点质量和球体之间切换，你会看到在半径 R 之外两条曲线完全叠合。这就是为什么把行星当作一个点来处理是可以的。

实际应用引力为 F = GMm/r²，与质量的乘积成正比，与距离的平方成反比。在相同的力下较轻的物体加速更大，圆轨道速度为 v = √(GM/r)。随着高度升高 g 会减弱，但太空中的失重并非没有引力，而是自由落体。并且由于壳层定理，行星从外部可以当作一个点来处理。