霍曼转移轨道
一艘飞船在较低的圆轨道上运行，现在要把它送到更高的圆轨道。可以一直开着发动机，沿螺旋线慢慢升高，但最省燃料的走法，是借一条分别与两个圆各相切于一点的椭圆过去。在内圆上加速一次进入这条椭圆，靠惯性滑行半圈，到达外圆的那一刻再加速一次，就在新轨道上稳定下来。这种用两次点火变换轨道的方法叫作霍曼转移。本讲先从彻底脱离轨道的逃逸速度讲起，再动手构造转移椭圆，一直算到燃料。
在变换轨道之前，先弄清楚要彻底离开需要多快。半径为 r 的圆轨道速度为 vcirc = √(GM/r)；从虚线圆上的白点以更快的速度发射，轨道就变成越来越向外伸长的椭圆。当速度恰好达到 vesc = √(2GM/r) 时，椭圆无法闭合，张开成抛物线。这个值就是逃逸速度，两者之间有一个简单的关系：vesc = √2 · vcirc。用滑块提高速度，到圆轨道速度的 √2 倍时，轨迹名称变为“逃逸临界”，再往上就是双曲线。
现在动手构造转移椭圆。只要画一条近心点落在内圆（半径 r₁）上、远心点落在外圆（半径 r₂）上的椭圆即可，它的半长轴为 a = (r₁ + r₂) / 2，椭圆上任意位置的速率都可以由活力公式 v = √(GM(2/r − 1/a)) 求出。在近心点需要比圆轨道速率多出的部分是绿点处的 Δv₁，在远心点并入外圆轨道所需的部分是橙点处的 Δv₂。用滑块增大 r₂，金色椭圆会重新画成与两圆都相切的形状，两次点火量及其合计也随之变化。外圆越远，Δv₁ 越大，而 Δv₂ 过了某一点反而会变小。
两次点火之间，飞船关闭发动机，只是滑行。在近心点施加一次 Δv₁ 进入椭圆之后，绕行半圈的过程中什么也不做，完全靠惯性前进。按下播放，白点沿金色椭圆运动，正如开普勒定律所说，在近心点附近快，越接近远心点越慢。绿点和橙点在点火的瞬间变大；恰好到达远心点时施加 Δv₂，飞船就在外圆上稳定下来。转移所用的时间正好是这条椭圆周期的一半。
所有点火量之和称为这次任务的 Δv 预算。关键在于，这份预算会直接换算成燃料的多少。把两者联系起来的是齐奥尔科夫斯基火箭方程 Δv = ve · ln(m₀ / mf)，其中 ve 是排气喷出的速度，m₀ 是出发时的质量，mf 是推进剂用完后的质量。上方的条依次叠加了发射、轨道转移和捕获的预算，下方条中的金色部分是出发质量中推进剂所占的份额。由于含有对数，所需的质量比随 Δv 呈指数增长；用滑块降低 ve，同样的预算下推进剂的份额会一直逼近条的末端。
霍曼转移总是最省的吗？当两个圆的半径比 r₂ / r₁ 非常大时，另一条路线可能花费更少。双椭圆转移先飞到比目标高得多的地方，再折返回来，一共点火三次。绕远路看上去吃亏，但在很高的地方改变轨道所需的速度变化很小，结果反而更划算。用按钮在两种方式之间切换，再用滑块增大半径比，一旦超过约 11.94，“占优”的标记就从霍曼转移跳到双椭圆转移。图中的蓝色虚线是把飞到极远远心点再返回的路径缩小后画出的示意。