霍曼转移用两次点火切换轨道
假设一艘航天器在低圆轨道上，需要抵达更高的圆轨道。与其持续燃烧燃料画出螺旋，最省的路线是用一个恰好与两个圆相切的椭圆。你在内侧加速一次爬上椭圆，滑行半圈，在触到外圆的瞬间再加速一次落进它。两次点火，换到一条新轨道，这就是霍曼转移。我们先确定逃逸速度，再亲手搭出转移椭圆。
在换轨之前，要彻底离开究竟得多快？半径为 r 的圆轨道速度是 vcirc = √(GM/r)。把速度一点点提高，轨道会拉长成更细长的椭圆，直到恰好在 vesc = √(2GM/r) 时椭圆张开成抛物线。这个值就是逃逸速度，正好是 vesc = √2 · vcirc。拖动滑块提速，你会看到到达 √2 倍的那一刻闭合轨道张开。
现在亲手搭出转移椭圆。画一个椭圆，让它的近点接触内圆(半径 r₁)，远点接触外圆(半径 r₂)。它的半长轴是 a = (r₁ + r₂) / 2。椭圆上任意一点的速度都可由活力公式 v = √(GM(2/r − 1/a)) 求出。在近点你要比圆轨道速度多出多少就是 Δv₁，从远点落进外圆所需的量就是 Δv₂。拖动 r₂ 增大，椭圆会重画，两次点火量也一起变化。
在两次点火之间，航天器关掉发动机，只是滑行。在近点给一次 Δv₁ 就登上椭圆，之后半圈里什么都不做，靠惯性漂移。按照开普勒定律，它在近点附近快、在远点附近慢。就在触到远点的那一刻给出 Δv₂，便落进外圆。按下播放，看两次点火以及它们之间半个周期的滑行。
把所有点火量加起来，就是这次任务的 Δv 预算。麻烦在于，这份预算会直接翻译成燃料。搭桥的是齐奥尔科夫斯基火箭方程 Δv = ve · ln(m₀ / mf)，其中 ve 是排气喷出的速度，m₀ 是出发质量，mf 是推进剂用尽后的质量。由于取了对数，Δv 稍微增加，所需的质量比就会暴涨。把 ve 滑低，看看为同一份预算买单时燃料占比爬升得多么陡。
霍曼转移总是最优吗？当两半径之比 r₂ / r₁ 非常大时，另一条路线可能更省。那就是双椭圆转移：先一次点火冲到远高于目标的位置，再返回，总共三次点火。跑那么远看似浪费，但在高处改变轨道所需的速度变化很小，这就带来收益。当半径比超过约 11.94，极端的双椭圆转移就胜过霍曼。用切换按钮在两种方式间来回，并增大比值，找出胜者反转的那一点。