多项式的运算
Polynomial Operations
多项式的乘法与除法，其实就是把你早已熟悉的数的运算推广到字母上。
两个一次式的积可以把矩形分成四块来看，展开式里每一项的来历一目了然，而除法用综合除法就能迅速求出商与余数。
就像 17 = 5 × 3 + 2 一样，多项式也遵循 f(x) = 除式 × 商 + 余数 这一相同结构。
本页可以用滑块改变 b 和常数项，亲自观察面积模型与综合除法如何变化。
多项式乘法 — 面积理解
两多项式的积可用矩形面积理解。展开 (x + a)(x + b) 得四个小矩形面积之和。
seegongsik.com
多项式积的面积模型：(x+3)(x+b)💡 面积模型核心
①x² 为大正方形，(a+b)x 为两个矩形，ab 为小矩形
②各区域面积之和即展开式
③这是乘法公式的基础
多项式除法 — 综合除法
当除以 (x - a) 时，综合除法可快速求商和余数。
seegongsik.com
综合除法：(x³ + 2x² − 5x + a₀) ÷ (x − 1)🔑 综合除法原理
①除以 (x - a) 时把 a 写在左侧
②最高次系数直接下落
③下落数 × a 加到下一系数
④最后一个数即余数
除法关系式
多项式除法等式
f(x) = (x − a) · Q(x) + R
被除式 = 除式 × 商 + 余数
恒等式性质
(n 次多项式) ÷ (1 次) → 商：n−1 次，余数：常数
除后次数减 1
📐 与整数除法对比
①17 ÷ 5 = 3 … 2 → 17 = 5 × 3 + 2
②多项式同结构：f(x) = 除式 × 商 + 余数
③余数次数 < 除式次数（恒成立!)
乘法公式总结
完全平方式
(a ± b)² = a² ± 2ab + b²
平方的展开
平方差公式
(a + b)(a − b) = a² − b²
和 × 差 = 平方差
立方展开
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
二项式定理 n=3 情形
动手解题
例题 1
展开 (x + 3)²。
1用完全平方公式 (a + b)² = a² + 2ab + b²。
(x + 3)² = x² + 2·x·3 + 3²
▸ x² + 6x + 9
记住乘法公式可加快展开。
例题 2
当 x + y = 5, xy = 3 时，求 x² + y² 的值。
1用乘法公式变形 x² + y² = (x + y)² − 2xy。
x² + y² = (x + y)² − 2xy
2代入数值。
= 5² − 2·3 = 25 − 6 = 19
▸ x² + y² = 19
已知和与积时，用乘法公式变形求对称式。
总结
核心除法等式
f(x) = (除式) × Q(x) + R
所有多项式除法的基本结构
高一 校内考试 题型
当 x + y = 4, xy = 2 时，x³ + y³ 的值为?
▸ ③ 40
1用立方和变形 x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y)。
x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y)
2代入数值。
= 4³ − 3·2·4 = 64 − 24 = 40
🎯 考试要点
①乘法公式即因式分解的逆 — 双向掌握
②综合除法与余式定理直接关联
③在等式中代入特定 x 值求余数
④立方展开扩展到二项式定理
⑤次数关系：被除式次数 = 商次数 + 除式次数