高中数学 多项式的运算

用面积看多项式的乘法

在整数中，17除以5得商3余2，可以写成一个等式17 = 5 × 3 + 2。多项式的除法也一样，与其把商和余式分开记，不如写成这样一个等式，下一单元才用得上。乘法也是如此，只记展开的结果，很容易漏掉一个符号或系数。所以这一页用面积图看乘法，用系数表看除法，用眼睛追踪每一项从哪里来、到哪里去。

两个多项式的积可以看成长方形的面积。把(x + 3)(x + b)展开，就是四个小长方形面积的和。图中3固定不变，只改变b。

面积图由一个边长为x的正方形，以及它右边、下边和右下角的三块组成。大正方形的面积是x²，右边一块是bx，下边一块是3x，角上一块是3b。把b从1调到7，只有右边两块的宽度改变，下面展开式中一次项系数3 + b和常数项3b也随之改变。例如b = 4时，(x + 3)(x + 4) = x² + 7x + 12。

多项式的除法：综合除法

多项式除以x − a时，用综合除法只靠系数就能很快求出商和余式。

把除法写成等式

如果只记填综合除法表的顺序，就容易忽略最后一格为什么是余式。除以一次式时，余式的次数必须比它低，所以是常数。因此最下面一行前面几格是商的系数，只有最后一格是余式。上图中商始终是x² + 3x − 2，改变常数项时，只有最后一格变成（常数项） − 2。常数项为2时余式是0，说明x³ + 2x² − 5x + 2能被x − 1整除。

乘法公式

例题与单元测试

做乘法公式的题，先判断所给式子和哪个公式的左边形式相同。像(x + 3)²这样同一个式子自乘，用完全平方公式；只给出和与积时，用x² + y² = (x + y)² − 2xy这样的变形。代入数字之前，先想一想每一项对应面积图中的哪一块，就不容易漏掉2ab中的2。写出答案后，可以把x = 1这样简单的数代入两边检验一下。

小结

在除法等式f(x) = (x − a)Q(x) + R中代入x = a，前一部分为0，只剩f(a) = R。也就是说，不做除法也能直接用f(a)求出表格最后一格，这就是下一单元的余式定理。余式为0时x − a是因式，所以倒用乘法公式找因式的因式分解，也建立在同一个等式上。抓住面积看到的展开和表格看到的除法用的是同样的字母、同样的系数，后面几个单元就连成了一体。