通用数学›多项式

多项式的运算

Polynomial Operations

多项式乘法 — 面积理解

两多项式的积可用矩形面积理解。展开 (x + a)(x + b) 得四个小矩形面积之和。

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💡 面积模型核心
①x² 为大正方形，(a+b)x 为两个矩形，ab 为小矩形
②各区域面积之和即展开式
③这是乘法公式的基础
多项式除法 — 综合除法

当除以 (x - a) 时，综合除法可快速求商和余数。

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🔑 综合除法原理
①除以 (x - a) 时把 a 写在左侧
②最高次系数直接下落
③下落数 × a 加到下一系数
④最后一个数即余数
除法关系式
多项式除法等式
f(x) = (x − a) · Q(x) + R
被除式 = 除式 × 商 + 余数
恒等式性质
(n 次多项式) ÷ (1 次) → 商：n−1 次，余数：常数
除后次数减 1
📐 与整数除法对比
①17 ÷ 5 = 3 … 2 → 17 = 5 × 3 + 2
②多项式同结构：f(x) = 除式 × 商 + 余数
③余数次数 < 除式次数（恒成立!)
乘法公式总结
完全平方式
(a ± b)² = a² ± 2ab + b²
平方的展开
平方差公式
(a + b)(a − b) = a² − b²
和 × 差 = 平方差
立方展开
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
二项式定理 n=3 情形
总结
核心除法等式
f(x) = (除式) × Q(x) + R
所有多项式除法的基本结构
🎯 考试要点
①乘法公式即因式分解的逆 — 双向掌握
②综合除法与余式定理直接关联
③在等式中代入特定 x 值求余数
④立方展开扩展到二项式定理
⑤次数关系：被除式次数 = 商次数 + 除式次数