절점법: 트러스를 한 절점씩 푼다

방법 전체가 막대의 한 성질에 기대요. 막대를 눌러 하나 골라 보세요. 트러스 막대는 양 끝이 핀으로 이어지고 중간에는 하중이 없어서, 딱 두 힘만 작용해요. 핀마다 하나씩이죠. 그 두 힘이 균형을 이루려면, 막대에서 ΣF=0이고 ΣM=0이려면, 크기가 같고 방향이 반대이며 두 핀을 잇는 선 위에 놓여야 해요. 그래서 트러스 막대가 할 수 있는 건 딱 하나예요. 자기 축 방향으로 밀거나 당기는 것. 보처럼 옆 방향 힘이나 휨 모멘트는 못 받아요. 트러스가 그토록 효율적이고 풀기 쉬운 이유가 이거예요. 막대 하나하나가 미지수 단 하나, 곧 그 안의 축력으로 줄어들거든요.

막대의 축력은 두 종류로 와요. 둘을 토글해 보세요. 양 끝 힘이 막대를 바깥으로 당기면 막대가 늘어나요. 그게 인장이고, 양수로 둬요. 안쪽으로 밀면 막대가 눌려요. 그게 압축, 음수예요. 뉴턴 제3법칙에 의해 막대는 절점에 같고 반대인 힘으로 되밀거나 되당기니까, 절점에서는 방향이 뒤집혀요. 인장 부재는 절점을 자기 쪽으로 당기고, 압축 부재는 절점을 밀어내요. 절점을 그릴 때 요령은 모든 미지 막대를 인장으로 가정하는 거예요. 화살표는 절점에서 멀어지는 쪽, 막대를 따라서요. 계산값이 음수로 나오면 그 막대는 사실 압축이에요. 부호가 결정하게 두면 방향을 추측하지 않아도 돼요.

이제 절점 하나를 떼어내요. 하나 골라 보세요. 절점에서 만나는 막대들을 자르면, 잘린 막대마다 자기 축력을 남기고, 외부 하중이나 받침 반력도 거기 작용해요. 이 힘들은 전부 절점을 지나가요. 한 점에 모이죠. 그래서 모멘트 식은 쓸 게 없어요. 절점은 그냥 입자고, 평형인 입자는 ΣFx=0과 ΣFy=0, 두 식을 따라요. 그러니 미지 막대 힘이 많아야 둘인 절점을 풀 수 있어요. 꼭대기 절점 C를 봐요. 하중은 아래로 누르고, 두 대각 막대가 위로, 바깥으로 밀어 버텨요. 미지수 둘, 식 둘, 풀려요. 트러스 전체가 이 작은 문제를 절점마다 되풀이하는 것뿐이에요.

간단한 삼각형 트러스로 합쳐 봐요. 왼쪽엔 핀, 오른쪽엔 롤러, 꼭대기 절점엔 하중이 매달려 있어요. 하중을 끌어 막대 힘이 어떻게 반응하는지 봐요. 먼저 받침이요. 대칭이라 각각 하중의 절반을 받으니, 수직 반력은 각각 P2예요. 그다음 꼭대기 절점으로 가요. 미지 막대가 둘뿐이죠. 두 대각재가 P를 받치려고 위로 밀어야 하니 둘 다 압축이고, 각각 P(2 sinθ)예요. 받침 절점으로 내려가요. 대각재의 수평 밀기를 아래 막대가 받아 줘야 하니, 그 막대는 팽팽히 당겨져요. 인장, P(2 tanθ)죠. 패턴이 보여요. 대각재는 눌리고, 아래 현재는 늘어나요. P를 더 크게 끌면 모든 힘이 정확히 비례해 따라 커져요.

마지막 요령 하나가 실제 수고를 덜어 줘요. 어떤 막대는 힘을 전혀 안 받아요. 두 경우를 토글해 봐요. 첫째, 막대 둘만 만나고 하중이 없는 절점에서, 두 막대가 일직선이 아니면 둘 다 0이어야 해요. 서로 다른 방향을 상쇄할 게 없거든요. 둘째, 두 막대가 일직선이고 셋째가 비스듬히 들어오는 절점에서, 하중이 없으면 홀로 비스듬한 막대가 0이고 일직선인 두 막대는 힘을 그대로 통과시켜요. 이런 영력 부재를 먼저 찾아내면 계산을 시작하기도 전에 막대를 퍼즐에서 덜어내요. 이걸로 절점법이 완성돼요. 반력을 구하고, 미지수 둘인 절점에서 시작해, ΣFx=0과 ΣFy=0을 쓰고, 결과를 하나씩 앞으로 넘기며, 대칭과 영력 부재로 수고를 줄여요. 여기서부터는 같은 자유물체도 사고가 프레임과 기계 전체로 확장돼요.