여러 힘은 하나의 합력으로 모인다
한 점에 여러 힘이 함께 밀면 어떻게 될까. 그 효과는 힘 하나로 대신할 수 있고, 그 하나를 합력이라 해요. 여러 힘을 합력 하나로 바꾸면 그림이 화살표 한 개로 단정해진다. 모으는 방법은 화살표를 머리와 꼬리로 잇거나, 평행사변형을 그리거나, 성분을 나누어 가로는 가로끼리 세로는 세로끼리 더하는 것이다. 세 방법의 결과는 같아요. 두 번째 힘을 돌려 합력이 어떻게 따라가는지부터 본다.
힘을 더하는 직관적인 방법은 화살표를 이어 붙이는 것이다. 첫 힘 F1을 그리고 그 머리에서 둘째 힘 F2의 꼬리를 시작하면, F2의 머리가 두 힘을 합한 자리다. 출발점에서 마지막 머리까지 곧장 그은 화살표가 합력이에요. F2를 돌려 보면 F2가 어디를 향하든 합력은 출발점에서 마지막 머리로 이어진다. 힘이 더 있어도 꼬리에 머리를 계속 잇고 처음과 끝을 이으면 되고, 순서를 바꿔도 도착점은 같아요.
힘이 둘일 때는 더 단정한 그림이 있다. 두 힘을 같은 점에서 출발시켜 평행사변형을 그린다. F1과 F2를 두 변으로 삼으면 그 사이를 가로지르는 대각선이 합력이에요. 이것은 머리와 꼬리를 잇는 방법과 같은 이야기다. 평행사변형의 맞은편 변이 F2를 평행이동한 것이라, F1 머리에 F2를 붙인 것과 같기 때문이에요. F2를 돌리면 평행사변형이 찌그러지며 대각선의 길이와 방향이 따라 변하고, 두 힘이 같은 쪽이면 합력은 길어지고 정반대면 짧아진다.
그림은 두 힘까지는 좋지만 힘이 늘면 자로 재기 번거로워, 실무에서는 성분으로 더한다. 힘마다 가로와 세로로 나눈 뒤 가로는 가로끼리 더해 가로 합을, 세로는 세로끼리 더한다. 여기 세 힘이 한 점에 있고, 셋째 힘 F3을 돌리면 두 합계가 바로 바뀐다. 부호를 챙겨 오른쪽과 위는 양, 왼쪽과 아래는 음으로 둔다. 이렇게 모은 두 수가 합력의 가로와 세로라, 힘이 몇 개든 수 둘로 줄어요.
모은 가로와 세로로 합력의 크기와 방향을 구한다. 그 둘을 변으로 하는 직각삼각형의 빗변이 합력 R이니, 크기는 R = √(ΣFx² + ΣFy²), 방향은 θ = arctan(ΣFyΣFx)예요. F3을 돌리면 굵은 화살표 하나, 합력 R로 모여 있다. 방향을 읽을 때는 두 성분의 부호로 사분면을 확인해야 하고, 아크탄젠트의 값만 믿으면 정반대 방향으로 착각하기 쉬워요. 여러 힘이 크기 하나와 각 하나로 정리된다.
방향을 뒤집어 본다. 합성이 여러 힘을 하나로 모으는 일이면 분해는 하나를 여럿으로 푸는 일이고, 둘은 같은 관계의 양쪽이에요. 힘 하나를 내가 정한 두 방향으로 다시 나눌 수 있고, 꼭 가로와 세로일 필요는 없다. 합력이 있고 비스듬한 두 안내선이 있는데, 합력을 그 방향의 성분으로 나눈 뒤 머리와 꼬리로 다시 잇으면 원래 합력으로 돌아와요. 안내선의 각을 바꾸면 두 성분의 크기는 달라져도 합치면 같은 합력이다. 경사면이나 케이블처럼 힘을 특정 방향으로 갈라야 할 때 이 역방향이 필요해요.