입자의 평형은 힘의 합이 0인 상태다
줄다리기에서 양쪽이 똑같이 당기면 매듭은 제자리에 멈춰 있죠. 힘이 없어서가 아니라, 힘들이 서로 완벽히 상쇄돼서예요. 한 점에 모인 여러 힘의 합력이 정확히 0이면, 그 점은 움직이지 않아요. 이게 입자의 평형이에요. 여기서 입자란 크기를 무시하고 한 점으로 본 물체예요. 회전은 생각할 필요 없이, 오직 힘의 합만 따지면 돼요. 합력이 0이라는 한 줄 조건이, 평면에서는 가로 합 0, 세로 합 0이라는 깔끔한 두 식이 되고요. 이 두 식으로 우리는 모르는 힘, 이를테면 케이블 장력을 풀어내요. 먼저 힘 하나를 움직여 매듭이 언제 균형을 잃는지 보세요.
한 점에 여러 힘이 한꺼번에 작용하는 상황을 봐요. 이 점을 입자라고 부를게요. 앞 강에서 배웠듯, 이 힘들은 합쳐져 하나의 합력 R이 돼요. R이 0이 아니면, 입자는 바로 그 R 방향으로 떠밀려요. 화살표 하나가 남아서 점을 끌고 가는 셈이죠. 힘 하나를 돌려 보세요. 합력 R이 이리저리 바뀌는 게 보일 거예요. R이 클수록 더 세게 떠밀리고요. 평형이란 바로 이 남은 화살표가 사라지는 순간, R이 0이 되는 순간이에요. 다음 장면에서 그걸 그림으로 확인해요.
힘들을 머리-꼬리로 쭉 이어 보면, 합력은 첫 꼬리에서 마지막 머리까지의 화살표였죠. 그렇다면 합력이 0이라는 건 무슨 뜻일까요? 마지막 머리가 정확히 첫 꼬리로 되돌아온다는 뜻이에요. 즉 화살표들이 빈틈없이 닫힌 다각형을 이뤄요. 마지막 힘의 머리를 끌어 다각형을 닫아 보세요. 닫히지 않고 벌어진 틈이 바로 합력이고, 그 틈이 0으로 줄면 평형이에요. 그래서 평형 상태의 힘들은 늘 꼬리에 꼬리를 물고 제자리로 돌아오는 닫힌 고리를 그려요. 이게 평형의 그림 버전이에요.
그림으로 닫혔는지 보는 건 직관적이지만, 계산으로는 성분으로 따지는 게 정확해요. 합력이 0이려면, 합력의 가로 성분도 0이고 세로 성분도 0이어야 해요. 그래서 평형 조건 하나가 두 개의 식으로 갈라져요. ΣFx = 0 과 ΣFy = 0. 모든 힘의 가로 성분을 더하면 0, 세로 성분을 더하면 0. F3의 각과 크기를 움직여 두 합계를 동시에 0으로 맞춰 보세요. 둘 다 0이 될 때, 그리고 그때만 입자가 평형이에요. 평면 문제에서 미지수를 딱 두 개까지 풀 수 있는 이유가 이거예요. 식이 두 개니까요.
이제 평형의 진짜 쓸모예요. 보통 우리는 몇 개의 힘은 알고, 모르는 힘 하나를 찾아야 해요. 평형이라는 사실이 그 답을 정해 줘요. 알려진 힘들의 합력이 R이라면, 모르는 힘은 정확히 그 반대, 즉 -R이어야 전체 합이 0이 되니까요. 이 -R을 평형력이라 불러요. 알려진 두 힘 F1, F2를 보세요. 평형을 맞추는 미지력 F3이 자동으로 그려져요. F1을 돌리면, 그에 맞춰 F3의 크기와 방향이 따라 바뀌죠. 늘 F3 = -(F1 + F2)예요. 성분으로 쓰면 F3x = -ΣFx, F3y = -ΣFy. 모르는 힘을 이렇게 콕 집어내는 거예요.
구체적인 예로 마무리해요. 무게 W인 짐이 두 가닥의 케이블에 매달려 있어요. 매듭이 입자고, 거기엔 세 힘이 작용해요. 아래로 당기는 무게 W, 그리고 두 케이블을 따라 비스듬히 위로 당기는 장력 T1, T2. 매듭이 가만히 있으니 평형, 곧 세 힘의 합이 0이에요. 두 식을 세우면 돼요. 가로는 T1과 T2의 수평 성분이 서로 상쇄되고, 세로는 두 장력의 수직 성분을 합한 게 무게 W와 같아야 하죠. 오른쪽 케이블 각을 끌어 보세요. 각이 얕아질수록, 즉 케이블이 수평에 가까워질수록 장력이 급격히 커져요. 빨랫줄을 팽팽하게 당길수록 잘 끊어지는 이유, 현수교 케이블이 굵은 이유가 바로 이거예요.