입자의 평형은 힘의 합이 0인 상태다
줄다리기에서 양쪽이 똑같이 당기면 매듭은 제자리에 멈춰 있다. 힘이 없어서가 아니라 힘들이 서로 완벽히 상쇄되기 때문인데, 한 점에 모인 여러 힘의 합력이 정확히 0이면 그 점은 움직이지 않아요. 이것이 입자의 평형이고, 여기서 입자란 크기를 무시하고 한 점으로 본 물체다. 회전은 생각할 필요 없이 오직 힘의 합만 따지면 되고, 합력이 0이라는 한 줄 조건이 평면에서는 가로 합 0, 세로 합 0이라는 깔끔한 두 식이 돼요. 이 두 식으로 모르는 힘, 이를테면 케이블 장력을 풀어낸다. 먼저 힘 하나를 움직여 매듭이 언제 균형을 잃는지부터 확인해요.
한 점에 여러 힘이 한꺼번에 작용하는 상황을 본다. 이 점을 입자라고 부르는데, 앞 강에서 배웠듯 이 힘들은 합쳐져 하나의 합력 R이 돼요. R이 0이 아니면 입자는 바로 그 R 방향으로 떠밀리는데, 화살표 하나가 남아서 점을 끌고 가는 셈이다. 힘 하나를 돌리면 합력 R이 이리저리 바뀌는 게 보이고, R이 클수록 더 세게 떠밀려요. 평형이란 바로 이 남은 화살표가 사라지는 순간, R이 0이 되는 순간이다. 다음 장면에서 그것을 그림으로 확인해요.
힘들을 머리-꼬리로 쭉 이어 보면 합력은 첫 꼬리에서 마지막 머리까지의 화살표였다. 그렇다면 합력이 0이라는 건 마지막 머리가 정확히 첫 꼬리로 되돌아온다는 뜻이고, 곧 화살표들이 빈틈없이 닫힌 다각형을 이룬다는 말이에요. 마지막 힘의 머리를 끌어 다각형을 닫아 보면 닫히지 않고 벌어진 틈이 바로 합력이고, 그 틈이 0으로 줄면 평형이다. 그래서 평형 상태의 힘들은 늘 꼬리에 꼬리를 물고 제자리로 돌아오는 닫힌 고리를 그리는데, 이것이 평형의 그림 버전이에요.
그림으로 닫혔는지 보는 건 직관적이지만 계산으로는 성분으로 따지는 편이 정확하다. 합력이 0이려면 합력의 가로 성분도 0이고 세로 성분도 0이어야 하니, 평형 조건 하나가 ΣFx = 0 과 ΣFy = 0 두 개의 식으로 갈라져요. 모든 힘의 가로 성분을 더하면 0, 세로 성분을 더하면 0이다. F3의 각과 크기를 움직여 두 합계를 동시에 0으로 맞춰 보면, 둘 다 0이 될 때 그리고 그때만 입자가 평형이라는 게 드러나요. 평면 문제에서 미지수를 딱 두 개까지 풀 수 있는 이유가 이것인데, 식이 두 개이기 때문이다.
이제 평형의 진짜 쓸모다. 보통 우리는 몇 개의 힘은 알고 모르는 힘 하나를 찾아야 하는데, 평형이라는 사실이 그 답을 정해 줘요. 알려진 힘들의 합력이 R이라면 모르는 힘은 정확히 그 반대인 -R이어야 전체 합이 0이 되고, 이 -R을 평형력이라 부른다. 알려진 두 힘 F1, F2를 놓으면 평형을 맞추는 미지력 F3이 자동으로 그려지고, F1을 돌리면 그에 맞춰 F3의 크기와 방향이 따라 바뀌어요. 늘 F3 = -(F1 + F2)이고, 성분으로 쓰면 F3x = -ΣFx, F3y = -ΣFy 다. 모르는 힘을 이렇게 콕 집어내는 것이에요.
구체적인 예로 마무리한다. 무게 W인 짐이 두 가닥의 케이블에 매달려 있고 매듭이 입자다. 거기에는 아래로 당기는 무게 W, 그리고 두 케이블을 따라 비스듬히 위로 당기는 장력 T1, T2 세 힘이 작용해요. 매듭이 가만히 있으니 평형, 곧 세 힘의 합이 0이다. 두 식을 세우면 되는데, 가로는 T1과 T2의 수평 성분이 서로 상쇄되고 세로는 두 장력의 수직 성분을 합한 게 무게 W와 같아야 해요. 오른쪽 케이블 각을 끌면 각이 얕아질수록, 곧 케이블이 수평에 가까워질수록 장력이 급격히 커지는 게 보인다. 빨랫줄을 팽팽하게 당길수록 잘 끊어지는 이유, 현수교 케이블이 굵은 이유가 바로 이것이에요.