입자의 평형은 힘의 합이 0인 상태다
줄다리기에서 양쪽이 똑같이 당기면 매듭은 그 자리에 멈춰 있다. 힘이 없어서가 아니라 힘들이 서로 상쇄되기 때문이고, 한 점에 모인 힘들의 합이 정확히 0이면 그 점은 움직이지 않는다. 이것이 입자의 평형이고, 입자란 크기를 무시하고 한 점으로 본 물체다. 회전은 제쳐 두고 힘의 합만 보면 되고, 합이 0이라는 조건이 평면에서는 가로 합 0, 세로 합 0이라는 두 식이 된다. 이 두 식으로 모르는 힘, 케이블의 당김을 풀어낸다. 힘 하나를 움직여 매듭이 언제 균형을 잃는지부터 본다.
한 점에 여러 힘이 함께 작용하는 상황을 본다. 이 점을 입자라고 부르며, 이 힘들은 합쳐져 하나의 합력 R이 돼요. 그 합이 0이 아니면 입자는 바로 그 R 방향으로 밀리는데, 화살표 하나가 남아 점을 끌고 가는 셈이다. 힘 하나를 돌리면 합력이 이리저리 바뀌고, 클수록 더 세게 밀려요. 평형이란 남은 화살표가 사라지는 순간, 곧 합이 0이 되는 순간이다. 다음에서 그것을 그림으로 확인한다.
힘들을 머리와 꼬리로 이어 보면 합력은 첫 꼬리에서 마지막 머리까지의 화살표였다. 합력이 0이라는 것은 마지막 머리가 첫 꼬리로 돌아온다는 뜻이고, 화살표들이 빈틈없이 닫힌 다각형을 이룬다는 말이에요. 마지막 머리를 끌어 다각형을 닫아 보면, 닫히지 않고 벌어진 틈이 합력이고 그 틈이 0으로 줄면 평형이다. 그래서 평형인 힘들은 제자리로 돌아오는 닫힌 고리를 그리는데, 이것이 평형의 그림이에요.
그림으로 닫혔는지를 보는 것은 직관적이지만, 계산은 성분으로 하는 편이 정확하다. 합이 0이려면 가로 성분도 0이고 세로 성분도 0이어야 하니, 조건 하나가 ΣFx = 0 과 ΣFy = 0 두 식으로 갈라져요. 모든 가로 성분을 더하면 0, 세로 성분을 더하면 0이다. 셋째 힘 F3의 각과 크기를 움직여 두 합을 동시에 0으로 맞추면, 둘 다 0일 때만 입자가 평형이라는 것이 드러나요. 평면에서 모르는 수를 둘까지 풀 수 있는 이유는 식이 둘이기 때문이다.
평형의 쓸모는 모르는 힘을 찾는 데 있다. 몇 힘은 알고 모르는 힘 하나를 찾아야 하는데, 평형이라는 사실이 답을 정해요. 알려진 힘들의 합이 0이 되려면 모르는 힘은 그 반대여야 하고, 그 반대를 평형력이라 부른다. 알려진 두 힘 F1, F2를 놓으면 평형을 맞추는 미지력 F3이 그려지고, F1을 돌리면 F3의 크기와 방향이 따라 바뀌어요. 늘 F3 = -(F1 + F2)이고, 성분으로 쓰면 F3x = 반대, F3y = 반대다. 모르는 힘을 이렇게 집어낸다.
무게 W인 짐이 두 케이블에 매달려 있고 매듭이 입자다. 아래로 당기는 무게 W, 두 케이블을 따라 위로 당기는 장력 T1, T2 세 힘이 작용해요. 매듭이 가만히 있으니 평형, 곧 세 힘의 합이 0이다. 가로는 T1과 T2의 수평 성분이 서로 상쇄되고, 세로는 두 장력의 수직 성분을 더한 것이 무게와 같아야 해요. 케이블의 각을 낮출수록, 수평에 가까워질수록 장력이 급히 커진다. 줄을 팽팽히 당길수록 잘 끊기는 이유가 여기 있다.